Question de mathsMathsSuites et récurrence

Comment une suite peut-elle converger en oscillant autour de sa limite ?

Q: Vérifiez l'égalité $uₙ₊₁-ℓ=(ℓ-uₙ)/((1+uₙ)(1+ℓ))$.

$1/(1+uₙ)-1/(1+ℓ)=((1+ℓ)-(1+uₙ))/((1+uₙ)(1+ℓ))=(ℓ-uₙ)/((1+uₙ)(1+ℓ))$.

Q: Les termes de rang pair forment-ils une suite monotone ?

Oui : $f∘ f$ est croissante, donc les suites extraites $(u₂ₙ)$ et $(u₂ₙ₊₁)$ sont monotones, l'une croissante et l'autre décroissante ; elles encadrent $ℓ$.

Q: Une suite définie par f décroissante converge-t-elle toujours ?

Non : avec $f(x)=-x$, on obtient $u₀,-u₀,u₀,…$ qui oscille sans converger. Il faut que l'écart se contracte.

La suite uₙ₊₁ = 1/(1 + uₙ) saute alternativement au-dessus et en dessous de sa limite (√5 − 1)/2 ≈ 0,618, car la fonction f est décroissante ; le diagramme en escalier et en escargot visualise ce comportement.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En traçant à la calculatrice les termes de la suite $u_{n + 1} = \frac{1}{1 + u _{n}}$ uₙ₊₁=1/(1+uₙ), j'ai vu des points qui sautaient de part et d'autre d'une valeur, au lieu de monter régulièrement comme les suites que je connaissais. J'ai voulu comprendre ce qui provoque cette oscillation et pourquoi la suite converge quand même.

L'enjeu et les notions du programme

Relier le sens de variation de f au comportement d'une suite uₙ₊₁ = f(uₙ), et visualiser la convergence par une construction graphique.

Mathématiques

Suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁=f(uₙ), représentation graphique en escalier ou en escargot (terminale)
Sens de variation d'une fonction et effet sur une suite (terminale)
Limite et point fixe d'une fonction continue (terminale)
Équations du second degré (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une suite qui saute
1,5 min
Avec $u_{0} = 1$ u₀=1 : 0,5 ; 0,667 ; 0,6 ; 0,625 ; 0,615 ; 0,619 ; 0,618… Les termes sont alternativement trop petits et trop grands. Problématique : pourquoi la suite oscille-t-elle, et pourquoi converge-t-elle ?
2. La construction graphique
3,5 min
On trace la courbe de $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ f(x)=1/(1+x) et la droite $y = x$ y=x. En partant de $u_{0}$ u₀ sur l'axe, on monte à la courbe (on lit $u_{1}$ u₁), on rejoint la droite $y = x$ y=x pour reporter $u_{1}$ u₁ sur l'axe, puis on recommence.
Quand $f$ f est croissante, on obtient un escalier : la suite est monotone. Ici, $f$ f est décroissante, et la construction tourne en escargot autour du point d'intersection de la courbe et de la droite : la suite oscille.
3. Pourquoi l'oscillation et quelle limite
3,5 min
La limite éventuelle est un point fixe : $ℓ = \frac{1}{1 + ℓ}$ ℓ=1/(1+ℓ), soit $ℓ^{2} + ℓ - 1 = 0$ ℓ²+ℓ-1=0, d'où $ℓ = \frac{5 - 1}{2} \approx 0, 618$ ℓ=(sqrt5-1)/2≈0,618 (l'autre racine est négative).
Comme $f$ f est décroissante, si $u_{n} < ℓ$ uₙ<ℓ, alors $u_{n + 1} = f (u_{n}) > f (ℓ) = ℓ$ uₙ₊₁=f(uₙ)>f(ℓ)=ℓ : les termes sont alternativement de part et d'autre de $ℓ$ ℓ. L'écart se réduit : $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ = \frac{∣ u _{n} - ℓ ∣}{( 1 + u _{n} ) ( 1 + ℓ )} \leq \frac{∣ u _{n} - ℓ ∣}{1 + ℓ}$ |uₙ₊₁-ℓ|=(|uₙ-ℓ|)/((1+uₙ)(1+ℓ))≤(|uₙ-ℓ|)/(1+ℓ), car $u_{n} \geq 0$ uₙ≥0. L'écart est multiplié au plus par $\frac{1}{1 , 618} \approx 0, 62$ 1/1,618≈0,62 : la suite converge vers $ℓ$ ℓ.
4. Conclusion
1,5 min
Une suite $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁=f(uₙ) oscille autour de sa limite quand $f$ f est décroissante, et converge si l'écart au point fixe se contracte. Ici, la limite est $\frac{5 - 1}{2}$ (sqrt5-1)/2, l'inverse du nombre d'or. J'ouvre sur les fractions continues : $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$ 1/(1+1/(1+1/(1+…))), qui donnent les quotients de termes de Fibonacci.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u_{n + 1} = f (u_{n}) = \frac{1}{1 + u _{n}}, ℓ = \frac{1}{1 + ℓ} ⟺ ℓ^{2} + ℓ - 1 = 0 ⟺ ℓ = \frac{5 - 1}{2} uₙ₊₁=f(uₙ)=1/(1+uₙ), ℓ=1/(1+ℓ)\Leftrightarrowℓ²+ℓ-1=0\Leftrightarrowℓ=(sqrt5-1)/2 f d \overset{e}{ˊ} croissante : u_{n} < ℓ \Rightarrow u_{n + 1} > ℓ f décroissante : uₙ<ℓ\Rightarrow uₙ₊₁>ℓ ∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ = \frac{∣ u _{n} - ℓ ∣}{( 1 + u _{n} ) ( 1 + ℓ )} \leq \frac{∣ u _{n} - ℓ ∣}{1 + ℓ} |uₙ₊₁-ℓ|=(|uₙ-ℓ|)/((1+uₙ)(1+ℓ))\leq(|uₙ-ℓ|)/(1+ℓ)

Conclusion : la réponse à la question

La suite oscille parce que la fonction qui la définit est décroissante, et elle converge parce que l'écart à la limite est multiplié par un facteur inférieur à 1 à chaque étape. La construction en escargot rend visible ce double comportement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez l'égalité

u_{n + 1} - ℓ = \frac{ℓ - u _{n}}{( 1 + u _{n} ) ( 1 + ℓ )}

uₙ₊₁-ℓ=(ℓ-uₙ)/((1+uₙ)(1+ℓ)).

$\frac{1}{1 + u _{n}} - \frac{1}{1 + ℓ} = \frac{( 1 + ℓ ) - ( 1 + u _{n} )}{( 1 + u _{n} ) ( 1 + ℓ )} = \frac{ℓ - u _{n}}{( 1 + u _{n} ) ( 1 + ℓ )}$ 1/(1+uₙ)-1/(1+ℓ)=((1+ℓ)-(1+uₙ))/((1+uₙ)(1+ℓ))=(ℓ-uₙ)/((1+uₙ)(1+ℓ)).

Les termes de rang pair forment-ils une suite monotone ?

Oui : $f \circ f$ f∘ f est croissante, donc les suites extraites $(u_{2 n})$ (u₂ₙ) et $(u_{2 n + 1})$ (u₂ₙ₊₁) sont monotones, l'une croissante et l'autre décroissante ; elles encadrent $ℓ$ ℓ.

Quel lien avec Fibonacci ?

Les termes sont des quotients de nombres de Fibonacci consécutifs : $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8} \dots$ 1/2,2/3,3/5,5/8…, inverses des quotients qui tendent vers $φ$ φ.

Une suite définie par f décroissante converge-t-elle toujours ?

Non : avec $f (x) = - x$ f(x)=-x, on obtient $u_{0}, - u_{0}, u_{0}, \dots$ u₀,-u₀,u₀,… qui oscille sans converger. Il faut que l'écart se contracte.

Comment tracer l'escargot en Python ?

On calcule les termes dans une boucle et on trace, pour chacun, un segment vertical vers la courbe puis un segment horizontal vers la droite y = x, avec matplotlib.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une suite convergente est forcément monotone.
Trouver le point fixe sans démontrer la convergence.
Garder la racine négative de ℓ² + ℓ − 1 = 0 alors que les termes sont positifs.

Revoir les notions

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