Question de mathsMathsGéométrie dans l'espace

Comment calculer le volume d'un tétraèdre avec des coordonnées ?

Q: Comment calculer l'aire de ABC autrement ?

Avec les longueurs : $AB=√(13)$, $AC=√(20)$, $BC=5$ ; puis une hauteur du triangle par le produit scalaire. On retrouve $√(61)$, mais le calcul est plus long.

Q: Quelle est la hauteur issue de O ?

$12/√(61)≈1,54$ : c'est la distance de $O$ au plan $(ABC)$.

Q: Comment vérifier que les quatre points ne sont pas coplanaires ?

Il suffit de vérifier que $O$ n'appartient pas au plan $(ABC)$ : $6×0+4×0+3×0-12=-12≠0$. Un volume non nul le confirme.

Le volume d'un tétraèdre vaut un tiers de l'aire d'une base multipliée par la hauteur. Pour O(0 ; 0 ; 0), A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 4), on trouve 4 ; la distance de O au plan (ABC) en déduit l'aire du triangle ABC, √61.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant une pyramide de verre, je me suis demandé comment calculer son volume si l'on ne connaît que les coordonnées de ses sommets. La formule du collège demande une base et une hauteur, que l'on ne voit pas toujours. J'ai voulu montrer que la géométrie vectorielle de terminale permet de tout calculer.

L'enjeu et les notions du programme

Combiner équation de plan, distance d'un point à un plan et formule du volume pour calculer volumes et aires à partir de coordonnées.

Mathématiques

Équation cartésienne d'un plan (terminale)
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal (terminale)
Volume d'une pyramide $\frac{1}{3} \times base \times hauteur$ 1/3× base × hauteur (collège)
Produit scalaire et orthogonalité (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : des sommets aux mesures
1,5 min
On connaît les quatre sommets d'un tétraèdre : $O (0; 0; 0)$ O(0;0;0), $A (2; 0; 0)$ A(2;0;0), $B (0; 3; 0)$ B(0;3;0), $C (0; 0; 4)$ C(0;0;4). Problématique : comment calculer son volume, puis l'aire de sa face $A B C$ ABC, qui n'est parallèle à aucun plan de coordonnées ?
2. Volume avec une base bien choisie
3 min
La face $O A B$ OAB est dans le plan $z = 0$ z=0 : c'est un triangle rectangle en $O$ O d'aire $\frac{2 \times 3}{2} = 3$ 2×3/2=3. La hauteur correspondante est la distance de $C$ C à ce plan, soit 4.
$V = \frac{1}{3} \times 3 \times 4 = 4$ V=1/3×3×4=4. On remarque que $V = \frac{2 \times 3 \times 4}{6}$ V=2×3×4/6 : un sixième du pavé de côtés 2, 3, 4.
3. L'aire de la face oblique
4 min
Le plan $(A B C)$ (ABC) a pour équation $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ x/2+y/3+z/4=1, soit $6 x + 4 y + 3 z - 12 = 0$ 6x+4y+3z-12=0 (on vérifie avec $A$ A, $B$ B, $C$ C). La distance de $O$ O à ce plan vaut $\frac{∣0 + 0 + 0 - 12∣}{36 + 16 + 9} = \frac{12}{61}$ (|0+0+0-12|)/(√(36+16+9))=12/√(61).
En prenant $A B C$ ABC comme base : $V = \frac{1}{3} \times A (A B C) \times \frac{12}{61} = 4$ V=1/3×mathcal A(ABC)×12/√(61)=4, d'où $A (A B C) = 61 \approx 7, 81$ mathcal A(ABC)=√(61)≈7,81.
Le calcul illustre une stratégie : on calcule le volume avec la base la plus simple, puis on en déduit une aire difficile en changeant de base.
4. Conclusion
1,5 min
Le volume d'un tétraèdre se calcule avec des coordonnées en choisissant une base et en mesurant la hauteur comme distance d'un point à un plan. Le même volume, calculé avec une autre base, donne l'aire d'une face oblique. J'ouvre sur la formule générale avec un déterminant, étudiée après le bac.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

V = \frac{1}{3} \times A (O A B) \times 4 = \frac{1}{3} \times 3 \times 4 = 4 V=1/3\timesmathcal A(OAB)\times4=1/3\times3\times4=4 (A B C) : 6 x + 4 y + 3 z - 12 = 0 d (O, (A B C)) = \frac{12}{36 + 16 + 9} = \frac{12}{61} (ABC): 6x+4y+3z-12=0 dbigl(O,(ABC)bigr)=12/(\sqrt(36+16+9))=12/\sqrt(61) \frac{1}{3} \times A (A B C) \times \frac{12}{61} = 4 \Rightarrow A (A B C) = 61 \approx 7, 81 1/3\timesmathcal A(ABC)\times12/\sqrt(61)=4 \Rightarrow mathcal A(ABC)=\sqrt(61)\approx7,81

Conclusion : la réponse à la question

Avec des coordonnées, on calcule le volume d'un tétraèdre par la formule $\frac{1}{3} \times base \times hauteur$ 1/3× base × hauteur, la hauteur étant une distance d'un point à un plan. Ici, $V = 4$ V=4, et le changement de base donne l'aire de la face oblique, $61$ √(61).

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez l'équation du plan avec le point

B

$6 \times 0 + 4 \times 3 + 3 \times 0 - 12 = 0$ 6×0+4×3+3×0-12=0.

Pourquoi le volume vaut-il le sixième du pavé ?

Une pyramide vaut le tiers du prisme de même base et même hauteur, et la base triangulaire est la moitié du rectangle : $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ 1/3×1/2=1/6.

Comment calculer l'aire de ABC autrement ?

Avec les longueurs : $A B = 13$ AB=√(13), $A C = 20$ AC=√(20), $B C = 5$ BC=5 ; puis une hauteur du triangle par le produit scalaire. On retrouve $61$ √(61), mais le calcul est plus long.

Quelle est la hauteur issue de O ?

$\frac{12}{61} \approx 1, 54$ 12/√(61)≈1,54 : c'est la distance de $O$ O au plan $(A B C)$ (ABC).

Le résultat dépend-il de la base choisie ?

Non, le volume est unique ; c'est précisément ce qui permet d'en déduire une aire ou une hauteur inconnue.

Comment vérifier que les quatre points ne sont pas coplanaires ?

Il suffit de vérifier que $O$ O n'appartient pas au plan $(A B C)$ (ABC) : $6 \times 0 + 4 \times 0 + 3 \times 0 - 12 = - 12 \neq = 0$ 6×0+4×0+3×0-12=-12≠0. Un volume non nul le confirme.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur 1/3 du volume de la pyramide.
Prendre comme hauteur une longueur qui n'est pas perpendiculaire à la base.
Se tromper dans le calcul de la norme du vecteur normal.

Revoir les notions

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