Comment calculer avec des puissances ? Méthode et exemples

Q: Que vaut une puissance d'exposant 0 ?

a0 = 1 pour tout a non nul. Cela découle de la règle du quotient : anan = a0, et ce quotient vaut 1.

Q: Que faire si les bases sont différentes ?

On ne peut pas combiner les exposants : 23 × 32 se calcule directement, 8 × 9 = 72. Sauf si une base est une puissance de l'autre : 42 × 23 = (22)2 × 23 = 24 × 23 = 27.

Les étapes

1
Identifier l'opération
Produit, quotient, ou puissance de puissance, avec la même base.
2
Appliquer la règle
Additionner / soustraire / multiplier les exposants.
3
Calculer
On évalue la puissance finale.

Exemple corrigé

Calculer $2^{3} \times 2^{2}$ 2³ × 2².

1.Même base : on additionne les exposants. $2^{3} \times 2^{2} = 2^{3 + 2}$ 2³ × 2² = 2³⁺².
2. $= 2^{5}$ = 2⁵.
3. $= 32$ = 32.

Résultat :

32

32.

Deuxième exemple

Calculer $\frac{( 5 ^{3} ) ^{2}}{5 ^{4}}$ (5³)²/5⁴.

1.Puissance de puissance : $(5^{3})^{2} = 5^{3 \times 2} = 5^{6}$ (5³)² = 5^(3× 2) = 5⁶.
2.Quotient de même base : $\frac{5 ^{6}}{5 ^{4}} = 5^{6 - 4} = 5^{2}$ 5⁶/5⁴ = 5⁶⁻⁴ = 5².
3. $5^{2} = 25$ 5² = 25.

Résultat :

25

25.

Piège à éviter

Les règles ne s'appliquent qu'à des puissances de même base.

Questions fréquentes

Que vaut une puissance d'exposant 0 ?

a^{0} = 1

a⁰ = 1 pour tout

a

a non nul. Cela découle de la règle du quotient :

\frac{a ^{n}}{a ^{n}} = a^{0}

aⁿ/aⁿ = a⁰, et ce quotient vaut

1

Peut-on appliquer les règles à une somme comme 2³ + 2² ?

Non, les règles ne concernent que les produits, les quotients et les puissances de puissances. Ici on calcule séparément :

8 + 4 = 12

8 + 4 = 12.

Que faire si les bases sont différentes ?

On ne peut pas combiner les exposants :

2^{3} \times 3^{2}

2³ × 3² se calcule directement,

8 \times 9 = 72

8 × 9 = 72. Sauf si une base est une puissance de l'autre :

4^{2} \times 2^{3} = (2^{2})^{2} \times 2^{3} = 2^{4} \times 2^{3} = 2^{7}

4² × 2³ = (2²)² × 2³ = 2⁴ × 2³ = 2⁷.

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