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Méthode · Première spé maths

Construire et exploiter un arbre pondéré

Face à une expérience en deux étapes, on traduit l'énoncé en arbre, on complète les probabilités manquantes, puis on lit les résultats demandés.

Les étapes

  1. 1

    Repérer les étapes

    On identifie le premier événement (souvent une « cause » : machine, urne, catégorie) puis le second (souvent un « résultat » : défaut, couleur, succès).
  2. 2

    Placer les probabilités connues

    On écrit P(A) et P(A̅) au premier niveau, puis les conditionnelles P_A(B), P_A̅(B) au second.
  3. 3

    Compléter par la règle des nœuds

    On complète chaque branche manquante par soustraction à 1 depuis son nœud.
  4. 4

    Calculer les chemins demandés

    On multiplie le long des chemins pour obtenir les P(A ∩ B), puis on additionne les chemins menant à un même événement si besoin.

Exemple corrigé

Une usine a deux machines. La machine A produit 60% des pièces, dont 5% sont défectueuses ; la machine B produit le reste, dont 8% sont défectueuses. Quelle est la probabilité qu'une pièce vienne de A et soit défectueuse ?

  1. 1.Premier niveau : P(A) = 0,6, P(B) = 0,4.
  2. 2.Second niveau, branche défaut D sachant A : P_A(D) = 0,05.
  3. 3.Chemin A puis D : P(A ∩ D) = 0,6 × 0,05 = 0,03.
Résultat : P(A ∩ D) = 0,03, soit 3% des pièces.

Piège à éviter

Une probabilité conditionnelle (P_A(D)) n'est pas une probabilité de chemin (P(A∩ D)) : la première se lit sur une branche, la seconde se calcule en multipliant tout le chemin.

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