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Notion

Le coefficient binomial

Le coefficient binomial C(n, k), lu « k parmi n », est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre. Il se calcule par C(n, k) =n!/(k! (n-k)!), et vérifie des propriétés utiles : la symétrie C(n, k) = C(n, n-k), les valeurs C(n, 0) = C(n, n) =1, et la relation de Pascal C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k), qui permet de construire le triangle de Pascal. Les coefficients binomiaux apparaissent dans le développement de (a+b)ⁿ et surtout dans la loi binomiale, où ils comptent le nombre de chemins menant à k succès. C'est un objet central de la combinatoire.

Définitions

Coefficient binomial
C(n, k) est le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments (avec 0 ≤ k ≤ n). C'est aussi le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal affiche les C(n, k) : chaque coefficient est la somme des deux situés juste au-dessus. Il permet de les calculer de proche en proche, sans factorielles.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Formule du coefficient binomial →C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)Le nombre de choix de k éléments parmi n.Symétrie →C(n, k) = C(n, n-k)C(n, k) = C(n, n − k)Choisir k éléments revient à en écarter n − k.Relation de Pascal →C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)Chaque coefficient est la somme des deux du dessus.

Méthodes

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Calculer un coefficient binomial →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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1

Cas simples

Niveau 1 · Application directe
Donner C(6, 0) et C(6, 1).
Voir la correction
  1. 1.
    C(6, 0) = 1 et C(6, 1) = 6.
    → Formule du coefficient binomial
Réponse : 1 et 6.
2

Avec la formule

Niveau 1 · Application directe
Calculer C(4, 2).
Voir la correction
  1. 1.
    C(4, 2) = 4!/(2! 2!) = 24/4 = 6.
    → Formule du coefficient binomial
Réponse : 6.
Faire les 10 exercices types sur coefficient binomial8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment lire la notation « k parmi n » ?

C(n, k), parfois notée « k parmi n », est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre. Par exemple C(5, 2) = 10.

Pourquoi 0! = 1 ?

Par convention, car cela rend cohérentes les formules : il y a exactement une façon de ne rien choisir, donc C(n, 0) = 1, ce qui impose 0! = 1.

À quoi sert la relation de Pascal ?

À construire le triangle de Pascal et à calculer les coefficients de proche en proche, sans passer par les factorielles : chaque coefficient est la somme des deux situés au-dessus.

Où apparaît le coefficient binomial ?

Dans la loi binomiale, où P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ, et plus généralement dans tous les problèmes de dénombrement de choix non ordonnés.

Quelle est la formule du coefficient binomial ?

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!), avec 0! = 1. On peut aussi le calculer par la relation de Pascal C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k), ou utiliser la symétrie C(n, k) = C(n, n−k).

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