Loi binomiale Terminale STMG — cours et fiche PDF

Q: À quoi sert le triangle de Pascal ?

À obtenir les coefficients binomiaux C(n, k) sans dessiner l'arbre : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.

Q: Comment calculer la probabilité d'au moins un succès ?

On passe par l'événement contraire « aucun succès » : P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)ⁿ.

Combien de pièces défectueuses trouvera-t-on dans un échantillon de $50$ 50 ? Quelle note obtient-on en moyenne en répondant au hasard à un QCM ? La loi binomiale modélise le nombre de succès quand on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues : c'est l'outil central des probabilités en Terminale STMG.

Au programme : l'espérance d'une variable aléatoire discrète et son interprétation (gain moyen, jeu équitable) ; le schéma de Bernoulli, représenté par un arbre pour $n ⩽ 4$ n ≤ 4 ; les coefficients binomiaux $(k n)$ C(n, k), définis comme nombres de chemins à $k$ k succès et lus dans le triangle de Pascal jusqu'à $n = 10$ n = 10 ; la loi binomiale $B (n; p)$ B (n ;p), avec $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X = k) = C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k), les événements « au moins un » et « au plus un » ; enfin l'espérance $E (X) = n p$ E(X) = np.

Pièges classiques : oublier le coefficient binomial (on obtient la probabilité d'un seul chemin), appliquer la loi binomiale à des tirages sans remise, et calculer « au moins un » terme à terme au lieu de passer par l'événement contraire.

Leçon complète

Loi binomiale en Terminale STMG : cours complet

La loi binomiale compte le nombre de succès quand on répète $n$ n fois, de façon identique et indépendante, une expérience à deux issues : nombre de pièces défectueuses dans un échantillon, de clients qui achètent, de bonnes réponses à un QCM. Le chapitre commence par l'espérance, la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Variable aléatoire et espérance

Une variable aléatoire $X$ X associe un nombre à chaque issue (un gain, un nombre de clients). Sa loi donne les probabilités $P (X = x_{i})$ P(X = xᵢ), de somme $1$ 1. Son espérance est la moyenne pondérée :

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} E(X) = x₁ p₁ + x₂ p₂ + \dots + xₙ pₙ$

Sur un grand nombre de répétitions, la moyenne des valeurs observées se rapproche de $E (X)$ E(X).

Exemple : une roue fait gagner $16$ 16, $1$ 1 ou $- 4$ -4 € (gain net) avec les probabilités $\frac{1}{8}$ 1/8, $\frac{2}{8}$ 2/8 et $\frac{5}{8}$ 5/8. Alors $E (G) = \frac{16 + 2 - 20}{8} = - 0, 25$ E(G) = (16 + 2 - 20)/8 = -0,25 € : le jeu est défavorable au joueur. Un jeu est équitable si l'espérance du gain net est nulle.

Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : le succès, de probabilité $p$ p, et l'échec, de probabilité $1 - p$ 1 - p. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On le représente par un arbre où toutes les branches « succès » portent $p$ p.

Un chemin qui comporte $k$ k succès et $n - k$ n - k échecs a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ p^(k)(1-p)^(n-k). Les tirages avec remise forment un schéma de Bernoulli ; les tirages sans remise non, car la composition de l'urne change.

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Le coefficient binomial $(k n)$ C(n, k) (« $k$ k parmi $n$ n ») est le nombre de chemins à $k$ k succès dans l'arbre d'un schéma à $n$ n épreuves.

$(0 n) = (n n) = 1$ C(n, 0) = C(n, n) = 1 et $(1 n) = (n - 1 n) = n$ C(n, 1) = C(n, n-1) = n ;
symétrie : $(k n) = (n - k n)$ C(n, k) = C(n, n-k) ;
formule de Pascal : $(k + 1 n + 1) = (k n) + (k + 1 n)$ C(n+1, k+1) = C(n, k) + C(n, k+1).

$n$ n	$k = 0$ k=0	$1$ 1	$2$ 2	$3$ 3	$4$ 4	$5$ 5	$6$ 6
$4$ 4	$1$ 1	$4$ 4	$6$ 6	$4$ 4	$1$ 1
$5$ 5	$1$ 1	$5$ 5	$10$ 10	$10$ 10	$5$ 5	$1$ 1
$6$ 6	$1$ 1	$6$ 6	$15$ 15	$20$ 20	$15$ 15	$6$ 6	$1$ 1

La somme de la ligne $n$ n vaut $2^{n}$ 2ⁿ, le nombre total de chemins. Le programme demande de construire le triangle jusqu'à $n = 10$ n = 10.

La loi binomiale

Si $X$ X compte les succès d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ n et $p$ p, $X$ X suit la loi binomiale $B (n; p)$ B (n ;p) et :

$P (X = k) = (k n) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k} P(X = k) = C(n, k) \times p^(k) \times (1-p)^(n-k)$

Cas particuliers : $P (X = 0) = (1 - p)^{n}$ P(X = 0) = (1-p)ⁿ, $P (X = n) = p^{n}$ P(X = n) = pⁿ, $P (X = 1) = n p (1 - p)^{n - 1}$ P(X = 1) = np(1-p)ⁿ⁻¹.

Exemple : une machine produit $10 %$ 10 % de pièces défectueuses ; sur $5$ 5 pièces, $P (X = 0) = 0, 9^{5} \approx 0, 59$ P(X = 0) = 0,9⁵ ≈ 0,59 et la probabilité d'au moins une pièce défectueuse vaut $1 - 0, 9^{5} \approx 0, 41$ 1 - 0,9⁵ ≈ 0,41.

Espérance d'une loi binomiale

Si $X$ X suit la loi $B (n; p)$ B (n ;p), alors (résultat admis) :

$E (X) = n \times p E(X) = n \times p$

Exemple : un élève qui répond au hasard à un QCM de $20$ 20 questions à $4$ 4 réponses obtient en moyenne $20 \times 0, 25 = 5$ 20 × 0,25 = 5 bonnes réponses.

Pour savoir combien d'essais faire pour avoir au moins un succès avec une probabilité donnée, on résout $1 - (1 - p)^{n} ⩾ s$ 1 - (1-p)ⁿ ≥ s avec le logarithme décimal.

Erreurs fréquentes à éviter

Oublier le coefficient binomial : $0, 4^{2} \times 0, 6^{3}$ 0,4² × 0,6³ est la probabilité d'un seul chemin, pas de « deux succès sur cinq ».
Appliquer la loi binomiale sans remise : les épreuves ne sont plus indépendantes.
Calculer « au moins un » terme à terme au lieu de $1 - P (X = 0)$ 1 - P(X = 0).
Écrire $E (X) = \frac{p}{n}$ E(X) = p/n : c'est le produit $n p$ np.
Faire la moyenne simple des valeurs au lieu de la moyenne pondérée par les probabilités.

FAQ — Loi binomiale en Terminale STMG

Comment reconnaître une loi binomiale ?

On vérifie trois points : une expérience à deux issues (succès ou échec), répétée $n$ n fois dans les mêmes conditions, de façon indépendante ; $X$ X compte le nombre de succès. On précise alors $n$ n et $p$ p.

À quoi sert le triangle de Pascal ?

À obtenir les coefficients binomiaux $(k n)$ C(n, k) sans dessiner l'arbre : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.

Comment calculer la probabilité d'au moins un succès ?

On passe par l'événement contraire « aucun succès » : $P (X ⩾ 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)ⁿ.

La loi normale est-elle au programme de Terminale STMG ?

Non. Le programme de mathématiques de la voie technologique s'arrête à la loi binomiale et à son espérance ; ni la loi normale ni la variance n'y figurent.

Loi binomiale en Terminale STMG

Cours et fiche

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Variable aléatoire et espérance

Plaquette 2 – Schéma de Bernoulli et arbres

Plaquette 3 – Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Plaquette 4 – Loi binomiale : calculer des probabilités

Plaquette 5 – Espérance et problèmes