Propriétés des puissances : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Pour un produit de même base, on additionne les exposants ; pour un quotient, on les soustrait ; pour une puissance de puissance, on les multiplie.

Et $a^{0} = 1$ a⁰ = 1, $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Ces règles se démontrent en revenant à la définition : $a^{m} \times a^{n}$ a^(m) × aⁿ, c'est $m$ m facteurs suivis de $n$ n facteurs, soit $m + n$ m+n facteurs au total. D'où l'addition des exposants.

Toutes exigent une base identique. C'est la condition qu'on oublie le plus souvent, et elle explique pourquoi $2^{3} \times 3^{2}$ 2³ × 3² ne se simplifie pas.

Exemple sur les puissances

2^{3} \times 2^{2} = 2^{5} = 32

2³ × 2² = 2⁵ = 32 ;

(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64

(2³)² = 2⁶ = 64 ;

\frac{2 ^{5}}{2 ^{2}} = 2^{3} = 8

2⁵/2² = 2³ = 8.

Deuxième exemple

(2^{3} \times 2^{- 5})^{2} = (2^{- 2})^{2} = 2^{- 4} = \frac{1}{16}

(2³ × 2⁻⁵)² = (2⁻²)² = 2⁻⁴ = 1/16 : on additionne d'abord les exposants dans la parenthèse, puis on les multiplie par l'exposant extérieur.

Piège à éviter avec les puissances

Pour un produit, on additionne les exposants (

2^{3} \times 2^{2} = 2^{5}

2³ × 2² = 2⁵), on ne les multiplie pas.

Les autres formules des puissances

Puissance d'un produit, d'un quotient, exposant négatif →

(ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

(ab)ⁿ=aⁿ bⁿ (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ a⁻ⁿ=1/aⁿ

Questions fréquentes sur les puissances

Comment retrouver la règle du quotient ?

En l'écrivant comme un produit :

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m} \times a^{- n} = a^{m - n}

a^(m)/aⁿ = a^(m) × a⁻ⁿ = a^(m-n). La soustraction n'est qu'une addition avec un exposant négatif.

Que vaut une puissance d'exposant négatif ?

L'inverse de la puissance positive :

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ainsi

2^{- 3}

2⁻³ vaut

\frac{1}{8}

1/8.

Dans quel ordre appliquer les règles ?

Comme pour tout calcul : les parenthèses d'abord, puis les puissances de puissances, enfin les produits et les quotients.

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