Puissance d'un produit, d'un quotient, exposant négatif : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

La puissance d'un produit est le produit des puissances : $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ (ab)ⁿ=aⁿ bⁿ ; il en va de même pour un quotient. Un exposant négatif désigne l'inverse : $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ=1/aⁿ.

Avec l'exposant $0$ 0, toute base non nulle vaut $1$ 1 : $a^{0} = 1$ a⁰=1.

La distribution sur un produit se démontre en réordonnant les facteurs : $(ab)^{3} = a \times b \times a \times b \times a \times b$ (ab)³ = a × b × a × b × a × b se regroupe en $a^{3} \times b^{3}$ a³ × b³, la multiplication étant commutative.

Cette commodité n'existe pas pour l'addition, ce qui explique que la puissance ne se distribue jamais sur une somme.

Exemple

(2 \times 3)^{2} = 4 \times 9 = 36

(2×3)²=4×9=36 ;

2^{- 3} = \frac{1}{8}

2⁻³=1/8 ;

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

(3/2)²=9/4.

Deuxième exemple

(2 x)^{3} = 2^{3} \times x^{3} = 8 x^{3}

(2x)³ = 2³ × x³ = 8x³ : le coefficient est élevé à la puissance lui aussi. Écrire

2 x^{3}

2x³ est l'erreur la plus fréquente, et elle donne un résultat quatre fois trop petit.

Piège à éviter

(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}

(a+b)ⁿ≠ aⁿ+bⁿ : la puissance ne se distribue pas sur une somme.

Les autres formules de les puissances

Propriétés des puissances →

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn} a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^(m) × aⁿ = a^(m+n) a^(m)/aⁿ = a^(m-n) (a^(m))ⁿ = a^(mn) a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Questions fréquentes

Pourquoi la puissance ne se distribue-t-elle pas sur une somme ?

Parce que

(a + b)^{n}

(a+b)ⁿ fait apparaître des termes croisés. Pour

n = 2

n = 2,

(3 + 4)^{2} = 49

(3+4)² = 49 alors que

9 + 16 = 25

9 + 16 = 25.

Faut-il élever le coefficient à la puissance aussi ?

Oui :

(2 x)^{3}

(2x)³ vaut

8 x^{3}

8x³, et non

2 x^{3}

2x³. C'est l'erreur la plus fréquente sur cette règle.

Comment simplifier une fraction élevée à une puissance ?

On élève séparément le numérateur et le dénominateur :

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

(3/2)² = 9/4.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur puissances et nombres rationnels

Puissances de 10, notation scientifique et fractions : les automatismes de calcul du cycle 4.

Formule : Puissance d'un produit, d'un quotient, exposant négatif