Calcul avec les puissances de 10 : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Comme pour toutes les puissances : $1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b}$ 10^(a) × 10^(b) = 10^(a+b), $\frac{1 0 ^{a}}{1 0 ^{b}} = 1 0^{a - b}$ 10^(a)/10^(b) = 10^(a-b), $(1 0^{a})^{b} = 1 0^{ab}$ (10^(a))^(b) = 10^(ab).

$1 0^{0} = 1$ 10⁰ = 1, $1 0^{- n} = \frac{1}{1 0 ^{n}}$ 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ.

Ces règles sont celles de toutes les puissances, appliquées à la base $10$ 10. Leur intérêt tient à ce que $1 0^{n}$ 10ⁿ se lit immédiatement en écriture décimale, ce qui rend les ordres de grandeur visibles.

Elles sont à la base de la notation scientifique et du système d'unités : kilo vaut $1 0^{3}$ 10³, milli vaut $1 0^{- 3}$ 10⁻³, méga vaut $1 0^{6}$ 10⁶.

Exemple

1 0^{3} \times 1 0^{2} = 1 0^{5} = 100000

10³ × 10² = 10⁵ = 100 000 ;

1 0^{- 2} = 0, 01

10⁻² = 0,01.

Deuxième exemple

\frac{( 1 0 ^{5} ) ^{3}}{1 0 ^{12}} = \frac{1 0 ^{15}}{1 0 ^{12}} = 1 0^{3} = 1000

(10⁵)³/10¹² = 10¹⁵/10¹² = 10³ = 1 000 : on multiplie les exposants pour la puissance de puissance, on les soustrait pour le quotient.

Piège à éviter

1 0^{3} = 1000

10³ = 1000 (

3

3 zéros), pas

3000

3000.

Les autres formules de les puissances de 10

Multiplier ou diviser par une puissance de 10 →

a \times 1 0^{n} : on d \overset{e}{ˊ} cale la virgule de n rangs

a × 10ⁿ : on décale la virgule de n rangs

Questions fréquentes

Comment lire une puissance de 10 négative ?

Comme une fraction :

1 0^{- 4} = \frac{1}{10 000} = 0, 0001

10⁻⁴ = 1/(10 000) = 0,0001. L'exposant donne le nombre de décimales.

Quel lien avec les préfixes des unités ?

Chaque préfixe est une puissance de

10

10 : kilo pour

1 0^{3}

10³, milli pour

1 0^{- 3}

10⁻³, micro pour

1 0^{- 6}

10⁻⁶. Les conversions reviennent à additionner des exposants.

Peut-on appliquer ces règles à d'autres bases ?

Oui, elles valent pour toute base non nulle. La base

10

10 est simplement celle dont l'écriture décimale est immédiate.

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