Multiplier ou diviser par une puissance de 10 : la formule et un exemple

Q: Que faire quand il manque des chiffres ?

On complète par des zéros : 3,5 × 10⁴ devient 35 000, en ajoutant trois zéros après le 5.

Q: Comment retenir le sens du décalage ?

Un exposant positif agrandit le nombre, la virgule va donc vers la droite. Un exposant négatif le rapetisse, la virgule va vers la gauche.

Q: Diviser par une puissance de 10 revient-il à multiplier par son inverse ?

Oui, exactement : les deux opérations décalent la virgule du même nombre de rangs vers la gauche.

Ce que dit la formule

Multiplier un nombre par $1 0^{n}$ 10ⁿ (avec $n > 0$ n>0) déplace la virgule de $n$ n rangs vers la droite ; le diviser par $1 0^{n}$ 10ⁿ, ou le multiplier par $1 0^{- n}$ 10⁻ⁿ, la déplace de $n$ n rangs vers la gauche.

C'est le principe de la notation scientifique, où l'on écrit un nombre sous la forme $a \times 1 0^{n}$ a× 10ⁿ avec $1 \leq a < 10$ 1≤ a<10.

Le décalage de la virgule est la traduction concrète de la multiplication : chaque rang correspond à un facteur $10$ 10. C'est pourquoi multiplier par $1 0^{3}$ 10³ décale de trois rangs, ni plus ni moins.

Quand le nombre de rangs dépasse celui des chiffres disponibles, on complète par des zéros.

Exemple

3, 5 \times 1 0^{3} = 3500

3,5×10³=3500 ;

42 \times 1 0^{- 2} = 0, 42

42×10⁻²=0,42.

Deuxième exemple

0, 72 \times 1 0^{5} = 72000

0,72 × 10⁵ = 72 000 : la virgule se déplace de

5

5 rangs vers la droite, en ajoutant les zéros nécessaires. À l'inverse,

0, 72 \times 1 0^{- 2} = 0, 0072

0,72 × 10⁻² = 0,0072.

Piège à éviter

Vers la droite pour un exposant positif, vers la gauche pour un exposant négatif : ne pas confondre le sens.

Les autres formules de les puissances de 10

Calcul avec les puissances de 10 →

1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b} \frac{1 0 ^{a}}{1 0 ^{b}} = 1 0^{a - b}

10^(a) × 10^(b) = 10^(a+b) 10^(a)/10^(b) = 10^(a-b)

Questions fréquentes

Que faire quand il manque des chiffres ?

On complète par des zéros :

3, 5 \times 1 0^{4}

3,5 × 10⁴ devient

35000

35 000, en ajoutant trois zéros après le

5

Comment retenir le sens du décalage ?

Un exposant positif agrandit le nombre, la virgule va donc vers la droite. Un exposant négatif le rapetisse, la virgule va vers la gauche.

Diviser par une puissance de 10 revient-il à multiplier par son inverse ?

Oui, exactement : les deux opérations décalent la virgule du même nombre de rangs vers la gauche.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur puissances et nombres rationnels

Puissances de 10, notation scientifique et fractions : les automatismes de calcul du cycle 4.

Formule : Multiplier ou diviser par une puissance de 10