Ada Lovelace a-t-elle écrit le premier programme informatique ? La note G et les sommes de puissances

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la place des femmes dans la science britannique, et Ada Lovelace, fille du poète Lord Byron, en est une figure emblématique : un langage informatique porte son nom, et l'« Ada Lovelace Day » célèbre chaque année les femmes scientifiques. En maths, j'ai découvert que son célèbre programme calculait des nombres liés aux sommes de puissances, que l'on démontre par récurrence en terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Établir des formules de sommes de puissances, les démontrer par récurrence et les relier à un algorithme.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   En 1843, Ada Lovelace traduit un article sur la machine analytique de Charles Babbage et y ajoute des notes trois fois plus longues que le texte. La dernière, la note G, décrit pas à pas le calcul des nombres de Bernoulli. Problématique : que calculait ce programme, et pourquoi est-il considéré comme fondateur ?

2. 2. Mathématiques : des sommes de puissances

   4 min

   Somme des premiers entiers : $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$1+2+…+n=(n(n+1))/2. Pour $n=100$n=100 : 5 050. Somme des carrés : $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6. Pour $n=100$n=100 : $\frac{100\times 101\times 201}{6}=338350$100×101×201/6=338 350.

   Démonstration par récurrence de la formule des carrés. Initialisation : pour $n=1$n=1, $\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$1×2×3/6=1. Hérédité : si la formule est vraie au rang $n$n, alors $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)\left(n(2n+1)+6(n+1)\right)}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$(n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)²=((n+1)(n(2n+1)+6(n+1)))/6=((n+1)(2n²+7n+6))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6, qui est la formule au rang $n+1$n+1.

   Somme des cubes : $1^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$1³+…+n³=((n(n+1))/2)². Pour $n=10$n=10 : $55^2=3025$55²=3 025.

   Jacques Bernoulli a montré au XVIIIᵉ siècle que toutes ces formules s'écrivent à l'aide d'une même suite de nombres, les nombres de Bernoulli : $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},\dots$1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42,… Ils se calculent par une relation de récurrence, ce qui en fait un problème idéal pour une machine : le programme d'Ada Lovelace répète les mêmes opérations dans une boucle, en réutilisant les résultats précédents stockés en mémoire.

3. 3. In English: the Enchantress of Numbers

   3 min

   Ada Lovelace was born in 1815, the only legitimate child of the poet Lord Byron. Her mother insisted on a mathematical education, partly to keep her away from her father's "poetic" temperament. Babbage called her "the Enchantress of Numbers".

   What makes her notes remarkable is not only the algorithm. She understood that the machine could act upon things other than numbers: "the engine might compose elaborate and scientific pieces of music of any degree of complexity". She also wrote that the machine "has no pretensions whatever to originate anything", an argument that Alan Turing discussed a century later as "Lady Lovelace's objection" to thinking machines. The machine was never built, so her program never ran, and historians still debate how much of it was her own work. But she is now a symbol of women in computing.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La note G calcule les nombres de Bernoulli, qui donnent les formules des sommes de puissances comme $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$(n(n+1)(2n+1))/6, démontrées par récurrence. En décrivant une boucle de calculs, Ada Lovelace a imaginé la programmation avant les ordinateurs. J'ouvre sur « l'objection de Lady Lovelace », que Turing a discutée en 1950.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Affirmer que le programme a été exécuté de son vivant.
• Oublier l'initialisation de la récurrence.
• Réduire Ada Lovelace à la fille de Byron.

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →
• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →

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