Comment la machine de Babbage calculait-elle des tables sans multiplier ? La méthode des différences

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la révolution industrielle britannique, et la figure de Charles Babbage, mathématicien et inventeur, m'a intéressé : il voulait « calculer à la vapeur ». En maths, j'ai découvert que sa machine à différences reposait sur une propriété simple des polynômes, qui permet de remplacer les multiplications par des additions.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer les différences successives d'une suite de valeurs d'un polynôme et démontrer que celles d'ordre 2 sont constantes pour un polynôme de degré 2.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Au XIXᵉ siècle, navigateurs, ingénieurs et banquiers utilisaient des tables de logarithmes ou de valeurs de fonctions, calculées à la main par des « computers » humains et pleines d'erreurs. Problématique : comment une machine pouvait-elle produire ces tables sans erreur, alors qu'elle ne savait qu'additionner ?

2. 2. Mathématiques : les différences finies

   4 min

   Prenons $f(x)=x^2+x+41$f(x)=x²+x+41. Valeurs pour $x=0,1,2,3,4,5$x=0,1,2,3,4,5 : 41, 43, 47, 53, 61, 71. Différences premières (écart entre deux valeurs successives) : 2, 4, 6, 8, 10. Différences secondes : 2, 2, 2, 2. Elles sont constantes.

   Démonstration : $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=(x+1{)}^2+(x+1)+41-x^2-x-41=2x+2$Δ f(x)=f(x+1)-f(x)=(x+1)²+(x+1)+41-x²-x-41=2x+2. C'est une fonction affine : les différences premières forment une suite arithmétique de raison 2. Leur différence est constante, égale à 2. Plus généralement, pour un polynôme de degré $n$n, les différences d'ordre $n$n sont constantes.

   Conséquence : connaissant $f(0)=41$f(0)=41, $\Delta f(0)=2$Δ f(0)=2 et la différence seconde 2, on obtient toute la table par additions. Valeur suivante de la différence : $10+2=12$10+2=12 ; valeur suivante de la fonction : $71+12=83$71+12=83, et l'on vérifie $f(6)=36+6+41=83$f(6)=36+6+41=83.

   Ce polynôme a une curiosité : il donne des nombres premiers pour $x=0,1,\dots ,39$x=0,1,…,39, mais $f(40)=1681=41^2$f(40)=1 681=41². La machine aurait calculé la table sans faute, mais aurait-elle « vu » cette propriété ? Les fonctions usuelles, comme le logarithme, sont approchées par des polynômes sur de petits intervalles, ce qui permettait d'en calculer les tables.

3. 3. In English: calculating by steam

   3 min

   Babbage is said to have exclaimed, while checking error-filled tables with a friend: "I wish to God these calculations had been executed by steam!" In 1822, he proposed the Difference Engine, and the British government funded the project, a rare example of state investment in science at the time. But the engine required thousands of precision parts, the project was abandoned in 1842, and Babbage moved on to an even more ambitious machine, the Analytical Engine.

   For a long time, people thought his machines could not have worked with the technology of the period. In 1991, the Science Museum in London built Difference Engine No. 2 from Babbage's original drawings, using only tolerances achievable in his time. It worked perfectly. Babbage's story shows the industrial ambitions of Victorian Britain, and the gap that sometimes separates a brilliant idea from its realisation.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Pour un polynôme de degré 2, les différences secondes sont constantes : la table de $x^2+x+41$x²+x+41 se construit par additions, 71 + 12 = 83. Babbage a fondé sa machine à différences sur cette propriété. J'ouvre sur la reconstruction de 1991, qui a montré que sa machine était réalisable.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre différences premières et secondes.
• Croire que la machine pouvait calculer des tables de n'importe quelle fonction sans approximation.
• Confondre la machine à différences et la machine analytique.

Revoir les notions

• Second degré (Première spé maths) →
• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →

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