Question transversaleMathsAnglaisGrandes figures anglophones

Newton ou Leibniz : qui a inventé le calcul différentiel, et pourquoi la querelle est-elle devenue nationale ?

Q: Qu'est-ce que la tangente en x = 2 à la courbe de x³ ?

La droite de pente 12 passant par (2 ; 8) : $y=12x-16$.

Newton calculait la « fluxion » de x³ en remplaçant x par x + o : (x + o)³ − x³ = 3x²o + 3xo² + o³, puis en divisant par o et en faisant disparaître o, il obtenait 3x². Leibniz publia sa propre méthode en 1684, avec les notations dx et dy que nous utilisons encore. La Royal Society, présidée par Newton, donna raison à Newton en 1712 : la querelle opposa ensuite mathématiciens anglais et continentaux pendant un siècle.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la place de la science dans la culture britannique, et la figure d'Isaac Newton y est centrale : il repose à l'abbaye de Westminster. En maths, j'ai appris que la dérivée avait été inventée presque en même temps par Newton et par Leibniz. J'ai voulu comprendre leur méthode et pourquoi cette découverte a déclenché une querelle entre nations.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une dérivée à partir de la définition par un taux d'accroissement, et comprendre le rôle d'une notation dans la diffusion d'une idée.

Mathématiques

Nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement (première)
Développement de (x + h)³ (seconde, première)
Dérivées des fonctions puissances (première)

LLCER anglais (dont anglais, monde contemporain)

Thématique « Arts et débats d'idées » : la science et ses controverses (terminale LLCER)
Axe « Savoirs, création, innovation » (anglais, monde contemporain)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le calcul différentiel est l'un des outils les plus puissants des mathématiques. Deux savants, l'Anglais Isaac Newton et l'Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, l'ont inventé chacun de leur côté à la fin du XVIIᵉ siècle. Problématique : comment calculaient-ils une dérivée, et pourquoi leur rivalité a-t-elle dépassé les mathématiques ?
2. Mathématiques : la méthode des fluxions
4 min
Newton considère une grandeur qui varie, $y = x^{3}$ y=x³, et cherche sa vitesse de variation, qu'il appelle « fluxion ». Il augmente $x$ x d'une quantité infiniment petite $o$ o : $(x + o)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} o + 3 x o^{2} + o^{3}$ (x+o)³=x³+3x²o+3xo²+o³.
L'accroissement de $y$ y vaut $3 x^{2} o + 3 x o^{2} + o^{3}$ 3x²o+3xo²+o³. Divisé par l'accroissement $o$ o : $3 x^{2} + 3 x o + o^{2}$ 3x²+3xo+o². Puis Newton fait « évanouir » $o$ o : il reste $3 x^{2}$ 3x².
C'est exactement notre définition : le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ (f(x+h)-f(x))/h quand $h$ h tend vers 0. Pour $f (x) = x^{3}$ f(x)=x³, on trouve $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ f'(x)=3x² ; plus généralement, la dérivée de $x^{n}$ xⁿ est $n x^{n - 1}$ nxⁿ⁻¹. En $x = 2$ x=2 : $f^{'} (2) = 12$ f'(2)=12, la pente de la tangente.
Leibniz note $d x$ dx et $d y$ dy les accroissements infiniment petits et écrit $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ dy/dx=3x². Sa notation rend les calculs presque mécaniques, par exemple la dérivée d'une composée. En 1734, l'évêque Berkeley se moque de ces quantités qui sont tantôt non nulles (pour diviser), tantôt nulles : il les appelle « les fantômes de quantités disparues ». Il faudra attendre le XIXᵉ siècle et la notion de limite pour fonder rigoureusement le calcul.
3. In English: a scientific quarrel becomes a national one
3 min
Newton developed his method of fluxions around 1665 and 1666, but he did not publish it for decades. Leibniz published his calculus in 1684. When Leibniz complained of accusations of plagiarism, the Royal Society set up a committee in 1712. Its report supported Newton, which is hardly surprising: Newton was the president of the Society and he probably wrote much of the report himself.
The consequences were long-lasting. British mathematicians remained loyal to Newton's dot notation, while continental mathematicians adopted Leibniz's $d x$ dx and $d y$ dy. For about a century, Britain fell behind in analysis. In 1812, students at Cambridge founded the Analytical Society to promote "the principles of pure d-ism", a pun on Leibniz's notation. Today, historians agree that both men invented the calculus independently.
4. Conclusion
1,5 min
Newton et Leibniz calculaient déjà la dérivée de $x^{3}$ x³ comme limite d'un taux d'accroissement, $3 x^{2}$ 3x². Leur querelle, tranchée par une Royal Society partiale, a isolé les mathématiciens britanniques pendant un siècle, faute d'avoir adopté la meilleure notation. J'ouvre sur la définition rigoureuse de la limite au XIXᵉ siècle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(x + o)^{3} - x^{3} = 3 x^{2} o + 3 x o^{2} + o^{3} \frac{3 x ^{2} o + 3 x o ^{2} + o ^{3}}{o} = 3 x^{2} + 3 x o + o^{2} o \to 0 3 x^{2} (x+o)³-x³=3x²o+3xo²+o³ (3x²o+3xo²+o³)/o=3x²+3xo+o² \to 3x² f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} f^{'} (2) = 12 f'(x)=lim_h\to0(f(x+h)-f(x))/h dy/dx=3x² f'(2)=12

Conclusion : la réponse à la question

La méthode des fluxions est notre dérivée, définie par un taux d'accroissement. La querelle entre Newton et Leibniz montre qu'une découverte scientifique peut devenir un enjeu de fierté nationale, et qu'une bonne notation fait progresser les mathématiques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez la dérivée de x² par la méthode de Newton.

$\frac{( x + o ) ^{2} - x ^{2}}{o} = 2 x + o \to 2 x$ ((x+o)²-x²)/o=2x+o→2x.

Pourquoi Berkeley critiquait-il cette méthode ?

Les quantités infiniment petites étaient supposées non nulles pour diviser, puis nulles pour les supprimer.

Who decided the quarrel in 1712, and was it fair?

A committee of the Royal Society. It was not impartial, because Newton was its president and helped to write the report.

Why did Leibniz's notation win?

Because dx and dy make calculations, such as the chain rule, almost automatic.

Qu'est-ce que la tangente en x = 2 à la courbe de x³ ?

La droite de pente 12 passant par (2 ; 8) : $y = 12 x - 16$ y=12x-16.

Les pièges qui coûtent des points

Présenter Newton comme le seul inventeur du calcul.
Oublier que les infiniment petits ont été fondés rigoureusement bien plus tard.
Confondre fluxion et intégrale.

Revoir les notions

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