Question transversaleMathsAnglaisGrandes figures anglophones

Comment Alan Turing additionnait-il des indices pour casser Enigma ? Le poids de la preuve en décibans

Q: Pourquoi les décibans s'additionnent-ils ?

Le logarithme transforme un produit en somme : $log(ab)=log a+log b$.

À Bletchley Park, Turing mesure la force d'un indice par le logarithme du rapport de vraisemblance, en « décibans » : 10 × log₁₀(rapport). Un indice qui rend une hypothèse deux fois plus probable vaut 10 log₁₀ 2 ≈ 3 db. Grâce au logarithme, les indices s'additionnent : partant d'une cote de 1 contre 19 (−12,8 db), onze indices de 3 db portent la probabilité à environ 99 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la mémoire de la Seconde Guerre mondiale au Royaume-Uni, et Bletchley Park, où travaillaient les décrypteurs d'Enigma, est devenu un lieu de mémoire. Alan Turing y a développé une méthode, le « Banburismus », pour décider entre des milliers d'hypothèses. J'ai découvert qu'elle reposait sur le théorème de Bayes et sur le logarithme, qui transforme les produits en sommes.

L'enjeu et les notions du programme

Écrire la mise à jour d'une probabilité sous forme de cotes, et utiliser le logarithme pour transformer des multiplications d'indices en additions.

Mathématiques

Probabilités conditionnelles et formule de Bayes (première)
Logarithme : ln(ab) = ln a + ln b, logarithme décimal (terminale)
Suites géométriques : produit de facteurs répétés (première)

LLCER anglais (dont anglais, monde contemporain)

Thématique « Expression et construction de soi » : Turing, une vie et une réhabilitation (terminale LLCER)
Axe « Représentations » : la mémoire de Bletchley Park (anglais, monde contemporain)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Pour casser les messages de la marine allemande, il fallait choisir entre de très nombreuses hypothèses sur les réglages d'Enigma, à partir d'indices faibles. Problématique : comment Turing combinait-il ces indices pour décider rapidement ?
2. Mathématiques : des cotes, des logarithmes, des sommes
4 min
On compare une hypothèse H à son contraire. Sa cote est $\frac{P ( H )}{P ( H ˉ )}$ P(H)/(P(bar H)). Un indice E modifie la cote selon la formule de Bayes : $\frac{P _{E} ( H )}{P _{E} ( H ˉ )} = \frac{P ( H )}{P ( H ˉ )} \times \frac{P _{H} ( E )}{P _{\overset{ˉ}{H}} ( E )}$ P_E(H)/(P_E(bar H))=P(H)/(P(bar H))timesP_H(E)/(P_bar H(E)). Le dernier facteur, le rapport de vraisemblance, mesure la force de l'indice.
Avec plusieurs indices indépendants, les rapports se multiplient. Turing prend le logarithme : $10 lo g_{10}$ 10log₁₀ du rapport, mesuré en « décibans » (db). Les multiplications deviennent des additions, faciles à faire à la main.
Exemple : une hypothèse a d'abord une chance sur 20, cote $\frac{1}{19}$ 1/19, soit $10 lo g_{10} \frac{1}{19} \approx - 12, 8$ 10log₁₀1/19≈-12,8 db. Chaque indice rend l'observation deux fois plus probable si H est vraie : $10 lo g_{10} 2 \approx 3, 0$ 10log₁₀2≈3,0 db. Après 11 indices : $- 12, 8 + 11 \times 3, 0 \approx 20, 3$ -12,8+11×3,0≈20,3 db. La cote vaut $\frac{2 ^{11}}{19} \approx 108$ 2¹¹/19≈108, et la probabilité $\frac{108}{109} \approx 99 %$ 108/109≈99 %.
On fixe un seuil, par exemple 20 db, au-delà duquel on accepte l'hypothèse : c'est l'ancêtre du test séquentiel. Turing a remarqué que le deciban était environ la plus petite variation de preuve perceptible par l'intuition humaine.
3. In English: Turing's life and legacy
3 min
Alan Turing worked at Bletchley Park from 1939, where he played a key role in breaking the naval Enigma. The work was kept secret for decades, so he received little public recognition during his lifetime. In 1952, he was prosecuted for "gross indecency" because he was homosexual, and he accepted chemical castration instead of prison. He died in 1954, probably by suicide.
His story has become a symbol of injustice and of changing attitudes. In 2009, the Prime Minister Gordon Brown issued a public apology, and in 2013 Queen Elizabeth II granted him a posthumous royal pardon. A law nicknamed the "Turing law" later pardoned thousands of men convicted under the same laws. Since 2021, his portrait has appeared on the Bank of England's fifty-pound note, with a quotation: "This is only a foretaste of what is to come, and only the shadow of what is going to be."
4. Conclusion
1,5 min
En mesurant chaque indice par $10 lo g_{10}$ 10log₁₀ de son rapport de vraisemblance, Turing additionnait les preuves : onze indices de 3 db font passer une hypothèse de 5 % à 99 %. Le logarithme rend le théorème de Bayes utilisable à la main. J'ouvre sur l'héritage de Turing en informatique et sur sa réhabilitation tardive.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{P _{E} ( H )}{P _{E} ( H ˉ )} = \frac{P ( H )}{P ( H ˉ )} \times \frac{P _{H} ( E )}{P _{\overset{ˉ}{H}} ( E )} db = 10 lo g_{10} (rapport) P_E(H)/(P_E(bar H))=P(H)/(P(bar H))timesP_H(E)/(P_bar H(E)) db =10log₁₀( rapport ) 10 lo g_{10} \frac{1}{19} \approx - 12, 810 lo g_{10} 2 \approx 3, 0 - 12, 8 + 11 \times 3, 0 \approx 20, 3 db \Rightarrow \frac{2 ^{11}}{19} \approx 108 \Rightarrow P \approx 99 % 10log₁₀1/19\approx-12,8 10log₁₀2\approx3,0 -12,8+11\times3,0\approx20,3 db \Rightarrow2¹¹/19\approx108\Rightarrow P\approx99 %

Conclusion : la réponse à la question

Le logarithme transforme la combinaison d'indices en une simple addition. La méthode de Turing, née dans le secret de Bletchley Park, fonde l'analyse séquentielle des preuves.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les décibans s'additionnent-ils ?

Le logarithme transforme un produit en somme : $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ log(ab)=log a+log b.

Combien vaut un indice qui rend l'observation 10 fois plus probable ?

$10 lo g_{10} 10 = 10$ 10log₁₀10=10 db.

Why was Turing's work unknown for so long?

Because the work at Bletchley Park was classified as a state secret until the 1970s.

What happened in 2013?

Queen Elizabeth II granted him a posthumous royal pardon.

Quelle hypothèse suppose l'addition des décibans ?

L'indépendance des indices, conditionnellement à chaque hypothèse.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre cote et probabilité.
Additionner des indices qui ne sont pas indépendants.
Attribuer à Turing seul le déchiffrement d'Enigma.

Revoir les notions

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