Pourquoi 1729 n'est-il pas un nombre ennuyeux ? Ramanujan, Hardy et les partitions

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié des rencontres entre cultures, et celle de Srinivasa Ramanujan, mathématicien indien autodidacte, avec G. H. Hardy, professeur à Cambridge, en 1914, est une histoire extraordinaire, racontée dans le film The Man Who Knew Infinity. En maths, j'ai voulu comprendre l'anecdote du nombre 1729 et le travail qui a rendu leur collaboration célèbre.

L'enjeu et les notions du programme

Mener une recherche exhaustive sur les sommes de cubes, et utiliser une formule asymptotique avec l'exponentielle pour estimer un nombre de partitions.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Ramanujan, employé de bureau à Madras, envoie en 1913 une lettre remplie de formules à Hardy, qui l'invite à Cambridge. Problématique : que révèlent l'anecdote du taxi 1729 et leur travail commun sur le génie de Ramanujan ?

2. 2. Mathématiques : des cubes et des partitions

   4 min

   Le nombre 1729 : $1^3+12^3=1+1728=1729$1³+12³=1+1 728=1 729 et $9^3+10^3=729+1000=1729$9³+10³=729+1 000=1 729. C'est le plus petit entier qui s'écrit de deux façons comme somme de deux cubes positifs. On le vérifie par une recherche exhaustive : il suffit de tester les couples $(a;b)$(a;b) avec $a\le b\le 12$a≤ b≤12, car $13^3=2197>1729$13³=2 197>1 729. Une double boucle Python ne trouve que $(1;12)$(1;12) et $(9;10)$(9;10).

   Les partitions : une partition de $n$n est une façon de l'écrire comme somme d'entiers, sans tenir compte de l'ordre. Pour $n=4$n=4 : $4$4, $3+1$3+1, $2+2$2+2, $2+1+1$2+1+1, $1+1+1+1$1+1+1+1, soit $p(4)=5$p(4)=5. Ce nombre croît très vite : $p(10)=42$p(10)=42, $p(100)=190569292$p(100)=190 569 292.

   Hardy et Ramanujan ont trouvé en 1918 une formule approchée : $p(n)\approx \frac{1}{4n\sqrt{3}}{e}^{\pi \sqrt{2n/3}}$p(n)≈1/4nsqrt3 e^(π√(2n/3)). Pour $n=100$n=100 : $\pi \sqrt{\frac{200}{3}}\approx 25,65$π√(200/3)≈25,65, et la formule donne environ $199$199 millions. L'erreur relative vaut $\frac{199,3-190,6}{190,6}\approx 4,6\%$(199,3-190,6)/190,6≈4,6 %, et elle diminue quand $n$n augmente. Leur méthode, affinée, donne même la valeur exacte : un tour de force.

3. 3. In English: "the man who knew infinity"

   3 min

   The anecdote comes from Hardy himself: "I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavourable omen. 'No,' he replied, 'it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.'"

   Ramanujan's years in England were both a triumph and an ordeal. He became a Fellow of the Royal Society in 1918, one of the first Indians to receive this honour. But he suffered from the cold, from the war, from loneliness and from a strict vegetarian diet that was difficult to follow. He went back to India in 1919 and died the following year, aged 32. His story raises questions about the British Empire, about recognition across cultures, and about the nature of mathematical intuition.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³, ce que vérifie une recherche exhaustive, et la formule de Hardy et Ramanujan estime p(100) à 4,6 % près grâce à l'exponentielle. Derrière l'anecdote, une collaboration entre deux cultures a produit des mathématiques profondes. J'ouvre sur les carnets de Ramanujan, dont les formules sont encore étudiées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de vérifier que 1729 est le plus petit nombre de ce type.
• Confondre partition et décomposition ordonnée.
• Présenter Ramanujan comme un génie sans formation, sans évoquer son travail acharné.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →
• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →

Autres questions : grandes figures anglophones

• Newton ou Leibniz : qui a inventé le calcul différentiel, et pourquoi la querelle est-elle devenue nationale ?
• Ada Lovelace a-t-elle écrit le premier programme informatique ? La note G et les sommes de puissances
• Comment Alan Turing additionnait-il des indices pour casser Enigma ? Le poids de la preuve en décibans
• Comment la machine de Babbage calculait-elle des tables sans multiplier ? La méthode des différences

Toutes les questions maths-llcer anglais →