Pourquoi a-t-il fallu 358 ans pour démontrer le dernier théorème de Fermat ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié des récits de persévérance, et l'histoire d'Andrew Wiles, racontée dans un célèbre documentaire de la BBC, en est un exemple fascinant : enfant, il avait découvert le théorème de Fermat dans une bibliothèque et rêvé de le démontrer. En maths, j'ai voulu comprendre pourquoi le cas des carrés est simple et celui des cubes si difficile.

L'enjeu et les notions du programme

Vérifier une identité algébrique qui produit tous les triplets pythagoriciens, et comprendre le statut d'une conjecture et d'une démonstration.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Vers 1637, Pierre de Fermat écrit dans la marge d'un livre qu'il a trouvé une démonstration « merveilleuse » d'un résultat, mais que la marge est trop étroite pour la contenir. Problématique : pourquoi ce résultat, si simple à énoncer, a-t-il résisté plus de trois siècles ?

2. 2. Mathématiques : des carrés aux puissances

   4 min

   Pour $n=2$n=2, l'équation $x^2+y^2=z^2$x²+y²=z² a beaucoup de solutions entières : $3^2+4^2=9+16=25=5^2$3²+4²=9+16=25=5². Pour tous entiers $m>n>0$m>n>0, le triplet $(m^2-n^2;2mn;m^2+n^2)$(m²-n² ; 2mn ; m²+n²) est solution. En effet, $(m^2-n^2{)}^2+(2mn{)}^2=m^4-2m^2{n}^2+n^4+4m^2{n}^2=m^4+2m^2{n}^2+n^4=(m^2+n^2{)}^2$(m²-n²)²+(2mn)²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴=(m²+n²)².

   Avec $m=2$m=2, $n=1$n=1 : $(3;4;5)$(3;4;5). Avec $m=3$m=3, $n=2$n=2 : $(5;12;13)$(5;12;13). Avec $m=4$m=4, $n=1$n=1 : $(15;8;17)$(15;8;17). Il y en a une infinité.

   Pour $n\ge 3$n≥3, Fermat affirme qu'il n'y a aucune solution en entiers strictement positifs. Il démontre lui-même le cas $n=4$n=4, par une méthode de « descente infinie » : d'une solution, on en construirait une plus petite, indéfiniment, ce qui est impossible pour des entiers positifs. Euler traite $n=3$n=3 au XVIIIᵉ siècle, puis d'autres mathématiciens des cas particuliers.

   Vérifier sur des exemples ne suffit pas : on ne peut pas tester une infinité de cas. Une seule démonstration générale était nécessaire. Wiles l'obtient en démontrant une conjecture sur les « courbes elliptiques », dont on savait depuis 1986 qu'elle entraînait le théorème de Fermat. Sa démonstration fait plus de cent pages.

3. 3. In English: seven years in an attic

   3 min

   Andrew Wiles was ten years old when he found the problem in a library book in Cambridge. "It looked so simple, and yet all the great mathematicians in history couldn't solve it," he later said. As a professor at Princeton, he worked on it in secret for seven years, mostly in his attic, telling almost no one.

   In June 1993, he announced his proof at a conference in Cambridge, and the news made the front pages. But a reviewer found a gap. For more than a year, Wiles struggled, and he was close to giving up. In September 1994, with the help of his former student Richard Taylor, he found a way to fix it: he described it as "the most important moment of my working life". The proof was published in 1995. He was knighted in 2000, and in 2016 he received the Abel Prize, often called the Nobel of mathematics.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une identité algébrique produit une infinité de triplets pythagoriciens, mais aucune solution n'existe pour les puissances supérieures : Wiles l'a démontré en 1994, 358 ans après la note de Fermat. Cette histoire montre la différence entre vérifier et démontrer. J'ouvre sur les conjectures encore ouvertes, comme celle de Goldbach.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Affirmer que Fermat avait sûrement une démonstration.
• Oublier la condition « entiers strictement positifs ».
• Présenter des vérifications numériques comme une preuve.

Revoir les notions

• Calcul littéral et équations (Seconde) →
• Nombres et calculs (Seconde) →

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