Pourquoi ne peut-on pas « démélanger » la confiture du riz au lait ? Arcadia de Tom Stoppard et les probabilités

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié le théâtre britannique contemporain, et Arcadia, de Tom Stoppard (1993), m'a fasciné : la pièce mêle l'histoire des jardins anglais, la poésie romantique et les mathématiques. Une scène où une jeune fille de treize ans s'étonne qu'on ne puisse pas démélanger un dessert m'a intrigué. J'ai découvert qu'elle posait une question fondamentale, que les probabilités éclairent.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité qu'un grand nombre d'événements indépendants se produisent ensemble, et comprendre pourquoi elle devient négligeable.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans la pièce, en 1809, la jeune Thomasina Coverly fait remarquer à son précepteur Septimus que la confiture se mélange au riz au lait quand on remue, mais qu'elle ne se sépare jamais quand on remue en sens inverse. Problématique : pourquoi ce phénomène est-il irréversible, alors que les lois du mouvement des particules fonctionnent dans les deux sens ?

2. 2. Mathématiques : une probabilité vertigineuse

   4 min

   Modèle : $N$N particules de confiture se déplacent au hasard. À un instant donné, chacune se trouve dans la moitié gauche ou la moitié droite du bol, avec la probabilité $\frac{1}{2}$1/2, indépendamment des autres.

   Probabilité de les retrouver toutes à gauche, comme au départ : ${\left(\frac{1}{2}\right)}^N=2^{-N}$(1/2)^(N)=2^(-N). Pour $N=10$N=10 : $2^{-10}=\frac{1}{1024}\approx 10^{-3}$2⁻¹⁰=1/(1 024)≈10⁻³, cela arrive de temps en temps. Pour $N=100$N=100 : $2^{-100}\approx 7,9\times 10^{-31}$2⁻¹⁰⁰≈7,9×10⁻³¹. Le nombre de chiffres de $2^{100}$2¹⁰⁰ se calcule avec le logarithme : $100{\log }_{10}2\approx 30,1$100log₁₀2≈30,1, soit 31 chiffres.

   Une cuillerée de confiture contient de l'ordre de $10^{23}$10²³ molécules : la probabilité $2^{-10^{23}}$2^(-10²³) est si petite qu'elle ne se produirait jamais, même en observant le bol pendant toute la durée de l'Univers.

   Le mélange n'est donc pas interdit par les lois de la physique : il est infiniment improbable. Il y a énormément plus de configurations « mélangées » que de configurations « séparées » : pour 100 particules, une seule configuration a tout à gauche, alors que $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{50}\right)\approx 10^{29}$C(100, 50) ≈10²⁹ en ont exactement la moitié de chaque côté. Le système va naturellement vers les états les plus nombreux. C'est l'idée de l'entropie, formalisée par Boltzmann.

3. 3. In English: "You cannot stir things apart"

   3 min

   Thomasina says: "When you stir your rice pudding, Septimus, the spoonful of jam spreads itself round making red trails like the picture of a meteor in my astronomical atlas. But if you stir backward, the jam will not come together again." She later concludes: "You cannot stir things apart."

   The play is set in the same English country house in two periods, 1809 and the present day. Thomasina, a genius ahead of her time, anticipates ideas that appeared much later: the second law of thermodynamics, chaos theory and fractals. In the modern scenes, academics try to reconstruct the past from incomplete documents, and they often get it wrong. Stoppard links the irreversibility of heat with the irreversibility of time and of human loss: the past cannot be "unstirred". Arcadia is often described as one of the greatest plays of the twentieth century.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La probabilité que $N$N particules reviennent toutes du même côté vaut $2^{-N}$2^(-N), environ $8\times 10^{-31}$8×10⁻³¹ pour 100 particules : le démélange n'est pas impossible, il est infiniment improbable. Stoppard fait de cette irréversibilité une image du temps et de la mémoire. J'ouvre sur l'entropie de Boltzmann, qui mesure ce nombre de configurations.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Affirmer que le démélange est impossible.
• Oublier l'hypothèse d'indépendance.
• Confondre une probabilité très faible et une probabilité nulle.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles et indépendance (Terminale spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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