Question transversaleMathsAnglaisInnovation et technologies

Comment une innovation se diffuse-t-elle dans une société ? La courbe en S du smartphone aux États-Unis

Q: Pourquoi la croissance est-elle maximale en t₀ ?

$p'=kp(1-p)$ est maximal quand $p=1/2$.

La part des adultes américains possédant un smartphone passe de 35 % en 2011 à 85 % en 2021. Un modèle logistique p(t) = 1/(1 + e^(−k(t − t₀))) passant par ces deux points donne k ≈ 0,235 et t₀ ≈ 2013,6, l'année où la moitié des adultes en possède un. Passer de 10 % à 90 % prend ln 81/k ≈ 19 ans. La diffusion est lente au début, rapide au milieu, puis ralentit : c'est la courbe en S d'Everett Rogers.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la façon dont les nouvelles technologies transforment la vie quotidienne aux États-Unis, et le smartphone en est l'exemple le plus spectaculaire. J'ai découvert le sociologue américain Everett Rogers, qui a théorisé la « diffusion des innovations » et ses étapes. J'ai voulu modéliser cette diffusion par une fonction logistique, à partir de données réelles.

L'enjeu et les notions du programme

Ajuster une fonction logistique à deux points en linéarisant par le logarithme, et interpréter ses paramètres.

Mathématiques

Fonction logistique, limites en ±∞ (terminale)
Logarithme : linéariser ln(p/(1 − p)) (terminale)
Équation différentielle p' = kp(1 − p) (pour aller plus loin, terminale)

LLCER anglais (dont anglais, monde contemporain)

Axe « Savoirs, création, innovation » : la diffusion des technologies (anglais, monde contemporain)
Axe « Faire société » : le numérique et les inégalités d'accès (anglais, monde contemporain)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
L'iPhone est lancé en 2007. En quinze ans, le smartphone devient presque universel aux États-Unis. Problématique : la diffusion d'une innovation suit-elle une loi mathématique, et comment la modéliser ?
2. Mathématiques : une fonction logistique
4 min
Données (enquêtes du Pew Research Center) : 35 % des adultes américains possèdent un smartphone en 2011, 85 % en 2021.
Modèle logistique : $p (t) = \frac{1}{1 + e ^{- k (t - t_{0})}}$ p(t)=1/(1+e^(-k(t-t₀))). La fonction croît de 0 à 1 ; elle vaut $\frac{1}{2}$ 1/2 en $t = t_{0}$ t=t₀, où sa croissance est la plus rapide. Elle est solution de $p^{'} = k p (1 - p)$ p'=k p(1-p) : la diffusion est d'autant plus rapide qu'il y a à la fois beaucoup d'utilisateurs (qui font connaître l'innovation) et beaucoup de non-utilisateurs (qui peuvent l'adopter).
Linéarisation : de $p = \frac{1}{1 + e ^{- k (t - t_{0})}}$ p=1/(1+e^(-k(t-t₀))), on tire $ln \frac{p}{1 - p} = k (t - t_{0})$ lnp/(1-p)=k(t-t₀). Pour 2011 : $ln \frac{0 , 35}{0 , 65} \approx - 0, 619$ ln0,35/0,65≈-0,619. Pour 2021 : $ln \frac{0 , 85}{0 , 15} \approx 1, 735$ ln0,85/0,15≈1,735. La pente vaut $k = \frac{1 , 735 - ( - 0 , 619 )}{10} \approx 0, 235$ k=(1,735-(-0,619))/10≈0,235 par an, et $t_{0} = 2011 + \frac{0 , 619}{0 , 235} \approx 2013, 6$ t₀=2011+0,619/0,235≈2013,6.
Interprétation : la moitié des adultes américains possédait un smartphone vers la mi-2013. Durée pour passer de 10 % à 90 % : $ln \frac{0 , 9}{0 , 1} - ln \frac{0 , 1}{0 , 9} = ln 81$ ln0,9/0,1-ln0,1/0,9=ln81, donc $\frac{l n 81}{k} \approx 19$ ln81/k≈19 ans. Prévision pour 2025 : $p \approx \frac{1}{1 + e ^{- 0, 235 \times 11, 4}} \approx 94 %$ p≈1/(1+e^(-0,235×11,4))≈94 %.
Un modèle à deux points est fragile, mais il montre la forme générale : lente au début, explosive au milieu, puis saturation. Les dernières personnes à adopter l'innovation sont souvent les plus âgées ou les plus pauvres.
3. In English: innovators, early adopters and laggards
3 min
In his book Diffusion of Innovations (1962), the American sociologist Everett Rogers divided the population into five groups: innovators (2.5 %), early adopters (13.5 %), the early majority (34 %), the late majority (34 %) and laggards (16 %). These percentages come from the bell curve of adoption times, whose cumulative form is the S-curve.
Marketing experts use this model to launch new products: convincing the early adopters is essential, because they influence everybody else. The model also raises social questions. The "digital divide" separates people who have access to technology from those who do not, often because of age, income or place of residence. During the Covid-19 pandemic, when schools moved online, millions of American students without a computer or a good internet connection were left behind. Innovation spreads, but not equally.
4. Conclusion
1,5 min
Un modèle logistique ajusté sur 35 % en 2011 et 85 % en 2021 place la moitié de la population en 2013,6 et prévoit environ 19 ans pour passer de 10 % à 90 %. La courbe en S décrit la diffusion des innovations. J'ouvre sur la fracture numérique, qui ralentit l'adoption chez les plus fragiles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

p (t) = \frac{1}{1 + e ^{- k (t - t_{0})}} ⟺ ln \frac{p}{1 - p} = k (t - t_{0}) p(t)=1/(1+e^(-k(t-t₀)))\Leftrightarrowlnp/(1-p)=k(t-t₀) k = \frac{1 , 735 + 0 , 619}{10} \approx 0, 235 t_{0} \approx 2013, 6 \frac{ln 81}{k} \approx 19 ans k=(1,735+0,619)/10\approx0,235 t₀\approx2013,6 ln81/k\approx19 ans

Conclusion : la réponse à la question

La fonction logistique, linéarisée par le logarithme, modélise la diffusion d'une innovation. Ses paramètres disent quand et à quelle vitesse une société adopte une technologie, et rappellent que tous ne l'adoptent pas en même temps.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut p(t₀) ?

$\frac{1}{1 + e ^{0}} = \frac{1}{2}$ 1/(1+e⁰)=1/2.

Pourquoi la croissance est-elle maximale en t₀ ?

$p^{'} = k p (1 - p)$ p'=kp(1-p) est maximal quand $p = \frac{1}{2}$ p=1/2.

Who are the "early adopters"?

The second group in Rogers's model, about 13.5 % of people, who adopt an innovation early and influence others.

What is the digital divide?

The gap between people who have access to digital technology and those who do not.

Pourquoi un modèle à deux points est-il fragile ?

Deux points suffisent à fixer deux paramètres, mais ne permettent pas de vérifier que la forme logistique convient.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser un modèle exponentiel qui dépasserait 100 %.
Oublier de linéariser avant de calculer la pente.
Présenter une prévision comme certaine.

Revoir les notions

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