Comment Edmond Halley a-t-il calculé le juste prix d'une rente viagère ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la naissance des institutions financières britanniques, comme la Bank of England en 1694. J'ai découvert qu'à la même époque l'astronome Edmond Halley, connu pour sa comète, avait publié la première table de mortalité scientifique et montré comment calculer le prix d'une rente. En maths, son calcul est une somme de suite géométrique.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer le prix d'une rente par une somme pondérée de probabilités et d'actualisations, et l'exprimer comme somme de suite géométrique.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   À la fin du XVIIᵉ siècle, le gouvernement anglais finance ses guerres en vendant des rentes viagères : l'acheteur paie une somme et reçoit un revenu annuel jusqu'à sa mort. Problématique : quel est le juste prix d'une telle rente, et comment Halley l'a-t-il calculé ?

2. 2. Mathématiques : une espérance actualisée

   4 min

   Une rente verse 1 chaque année tant que l'acheteur vit. Le versement de l'année $k$k n'a lieu que s'il est vivant, avec une probabilité $s_k$sₖ. De plus, 1 reçu dans $k$k ans vaut aujourd'hui $\frac{1}{1,06^k}$1/1,06^(k) si l'argent peut être placé à 6 %. Le juste prix est l'espérance actualisée : $P={\sum }_{k\ge 1}\frac{s_k}{1,06^k}$P=Σ_k≥1sₖ/1,06^(k).

   Halley a tiré les $s_k$sₖ des registres de la ville de Breslau. Modèle simple : survie de 97 % chaque année, $s_k=0,97^k$sₖ=0,97^(k). Alors $P={\sum }_{k\ge 1}{\left(\frac{0,97}{1,06}\right)}^k$P=Σ_k≥1(0,97/1,06)^(k). C'est une suite géométrique de raison $q=\frac{0,97}{1,06}\approx 0,915$q=0,97/1,06≈0,915, dont la somme vaut $\frac{q}{1-q}\approx 10,8$q/(1-q)≈10,8.

   Une rente de 100 livres par an vaut donc environ 1 080 livres. Avec une survie de 98 % (acheteur plus jeune) : $q=\frac{0,98}{1,06}$q=0,98/1,06 et $P\approx 12,2$P≈12,2. Plus l'acheteur est jeune, plus la rente vaut cher.

   Or le gouvernement vendait ses rentes environ « sept années de revenu », c'est-à-dire 7 fois le versement annuel, quel que soit l'âge. Halley montra que c'était beaucoup trop bon marché pour un jeune acheteur : l'État s'endettait à un coût bien supérieur à ce qu'il croyait.

3. 3. In English: the astronomer and the actuaries

   3 min

   Edmond Halley is best known for predicting the return of the comet that bears his name. But in 1693 he published, in the Philosophical Transactions of the Royal Society, "An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind", based on records of births and deaths in the city of Breslau. It was the first life table built on reliable data.

   His work came at a key moment: the Glorious Revolution of 1688 and the wars against France pushed England to invent new ways of borrowing, and the Bank of England was founded in 1694. Governments, however, kept selling annuities at prices that ignored age for decades. In the eighteenth century, insurance companies such as the Equitable, founded in 1762, finally used mortality tables to set their prices. Halley's paper is often seen as the birth of actuarial science, a very British contribution to modern finance.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le juste prix d'une rente est une espérance actualisée : avec une survie de 97 % et un taux de 6 %, la somme géométrique $\frac{q}{1-q}$q/(1-q) donne 10,8 fois le versement, bien plus que les 7 années demandées par l'État. Halley a fondé la science actuarielle. J'ouvre sur les retraites et l'assurance vie, qui reposent sur le même calcul.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier l'actualisation.
• Oublier de pondérer par la probabilité de survie.
• Confondre Halley l'astronome et un financier.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Variables aléatoires (Première spé maths) →

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