Comment une actrice d'Hollywood a-t-elle inventé une technique utilisée par le Wi-Fi et le Bluetooth ? Le saut de fréquence

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la place des femmes dans l'histoire de l'innovation américaine, et la figure d'Hedy Lamarr m'a fasciné : star d'Hollywood dans les années 1940, elle a aussi inventé une technique de communication secrète, ancêtre du Wi-Fi et du Bluetooth. Elle n'a été reconnue comme inventrice que très tard. J'ai voulu comprendre, avec les probabilités, pourquoi son idée rend un signal difficile à brouiller.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer des probabilités d'événements indépendants répétés et comparer un système à fréquence fixe et un système à saut de fréquence.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Pendant la Seconde Guerre mondiale, les torpilles pouvaient être guidées par radio, mais l'ennemi pouvait brouiller la fréquence utilisée. Problématique : comment rendre une communication radio difficile à brouiller, et pourquoi l'idée de Hedy Lamarr fonctionne-t-elle ?

2. 2. Mathématiques : un brouilleur face à 88 fréquences

   4 min

   Fréquence fixe : si l'émetteur utilise une seule fréquence et que l'ennemi la découvre, il peut la brouiller en permanence : la communication est perdue avec certitude.

   Saut de fréquence : l'émetteur change de fréquence plusieurs fois par seconde, parmi 88 (le nombre de touches d'un piano), selon une séquence que seul le récepteur connaît. Lamarr et Antheil proposaient de synchroniser l'émetteur et le récepteur avec des rouleaux perforés, comme ceux des pianos mécaniques.

   Un brouilleur bloque 10 fréquences. À chaque saut, la fréquence utilisée semble tirée au hasard : la probabilité qu'elle soit brouillée vaut $\frac{10}{88}\approx 0,114$10/88≈0,114, soit environ 11 %. Environ 89 % des sauts passent.

   Si un message est répété sur 10 sauts indépendants, la probabilité que tous soient brouillés vaut ${\left(\frac{10}{88}\right)}^{10}\approx 3,6\times 10^{-10}$(10/88)¹⁰≈3,6×10⁻¹⁰. La probabilité qu'au moins un saut passe vaut donc pratiquement 1. Le nombre de sauts brouillés parmi 10 suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,114 : en moyenne, environ 1,1 saut brouillé.

   Pour brouiller vraiment, l'ennemi devrait bloquer toutes les fréquences à la fois, ce qui demande une puissance énorme. Le Bluetooth moderne utilise 79 canaux et change de canal 1 600 fois par seconde : les interférences avec d'autres appareils ne touchent qu'une petite fraction des sauts, que l'on peut retransmettre.

3. 3. In English: "the most beautiful woman in the world"

   3 min

   Hedy Lamarr was born in Vienna in 1914. She fled her first husband, an arms dealer linked to fascist regimes, and moved to Hollywood, where the studio MGM presented her as "the most beautiful woman in the world". She was also a self-taught inventor. With the avant-garde composer George Antheil, she patented a "Secret Communication System" in 1942 and offered it to the US Navy to help the Allies.

   The Navy did not use the invention during the war; it reportedly told her that she would help the war effort more by selling war bonds, which she did, raising millions of dollars. The patent expired before frequency hopping became widely used in military and then civilian technologies. Lamarr received recognition only at the end of her life: in 1997, she received an award from the Electronic Frontier Foundation, and in 2014 she was inducted into the National Inventors Hall of Fame. Her story is often cited to show how women's scientific contributions have been ignored.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec 88 fréquences dont 10 brouillées, chaque saut n'est bloqué qu'avec une probabilité de 11 %, et 10 sauts ne le sont tous qu'avec une probabilité de $3,6\times 10^{-10}$3,6×10⁻¹⁰. Le saut de fréquence transforme un brouillage certain en perte négligeable. J'ouvre sur l'usage de cette technique dans le Wi-Fi et le Bluetooth, et sur la reconnaissance tardive de Hedy Lamarr.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier que la séquence doit être inconnue de l'ennemi.
• Additionner les probabilités au lieu de les multiplier.
• Réduire Hedy Lamarr à sa carrière d'actrice.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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