Comment Katherine Johnson calculait-elle la trajectoire des astronautes ? Le vol d'Alan Shepard

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la lutte pour les droits civiques aux États-Unis, et l'histoire des mathématiciennes afro-américaines de la NASA, racontée dans le livre et le film Hidden Figures, m'a beaucoup marqué. Katherine Johnson a calculé la trajectoire du premier vol américain dans l'espace. J'ai voulu refaire un calcul simplifié de cette trajectoire avec les fonctions du second degré.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une trajectoire par une parabole, relier portée, hauteur et angle de départ, et interpréter les limites du modèle.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le 5 mai 1961, Alan Shepard devient le premier Américain dans l'espace, pour un vol suborbital de 15 minutes. Il fallait savoir exactement où sa capsule tomberait dans l'Atlantique pour la récupérer. Problématique : comment calculer cette trajectoire, et qui a fait ces calculs ?

2. 2. Mathématiques : une parabole

   4 min

   Modèle simplifié : après l'arrêt du moteur, la capsule ne subit que la pesanteur, supposée constante, et la Terre est supposée plate. La trajectoire est alors une parabole. On place le départ à l'origine et le point de chute à la distance $R$R (la portée) : $y=ax(R-x)$y=ax(R-x), qui s'annule en 0 et en $R$R.

   Le sommet est atteint au milieu, en $x=\frac{R}{2}$x=R/2 : la hauteur maximale vaut $H=a\times \frac{R}{2}\times \frac{R}{2}=\frac{a{R}^2}{4}$H=atimesR/2timesR/2=aR²/4, donc $a=\frac{4H}{R^2}$a=4H/R².

   Pente au départ : la dérivée de $y=aRx-a{x}^2$y=aRx-ax² est $aR-2ax$aR-2ax, qui vaut $aR=\frac{4H}{R}$aR=4H/R en $x=0$x=0. L'angle de départ $\theta$θ vérifie donc $\tan \theta =\frac{4H}{R}$tanθ=4H/R.

   Pour le vol de Shepard : $H\approx 187$H≈187 km et $R\approx 487$R≈487 km. $\tan \theta =\frac{4\times 187}{487}\approx 1,54$tanθ=4×187/487≈1,54, soit $\theta \approx 57°$θ≈57°. Une trajectoire plus haute et plus courte qu'un tir à 45°, qui maximise la portée à vitesse donnée.

   Limites : la pesanteur diminue avec l'altitude, la Terre est ronde et tourne, et l'atmosphère freine la capsule. Les calculs réels intégraient ces effets, avec des méthodes numériques pas à pas comme la méthode d'Euler.

3. 3. In English: a "hidden figure"

   3 min

   Katherine Johnson was born in 1918 in West Virginia. She was so gifted that she started high school at ten and graduated from college at eighteen. In 1953, she joined the West Area Computing unit at Langley, a group of African American women mathematicians who worked separately from their white colleagues, because of segregation laws in Virginia.

   She calculated the trajectory of Alan Shepard's flight in 1961. In 1962, before John Glenn's orbital flight, the astronaut asked for the computer results to be checked by hand: "Get the girl to check the numbers. If she says they're good, I'm ready to go." For a long time, her work was almost unknown. In 2015, President Obama awarded her the Presidential Medal of Freedom, and the 2016 film Hidden Figures made her famous. She died in 2020, aged 101.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Dans un modèle parabolique, la portée, la hauteur et l'angle de départ vérifient $\tan \theta =\frac{4H}{R}$tanθ=4H/R : pour Shepard, environ 57°. Katherine Johnson faisait des calculs bien plus complets, à la main, à une époque où la ségrégation rendait son travail invisible. J'ouvre sur la reconnaissance tardive des « hidden figures » de la science.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier que le modèle suppose une Terre plate et une pesanteur constante.
• Confondre angle de départ et angle de portée maximale.
• Réduire Katherine Johnson à une anecdote de film.

Revoir les notions

• Second degré (Première spé maths) →
• Dérivation locale (Première spé maths) →

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