Quelle est la probabilité que mon vote change le résultat d'une élection ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la participation électorale aux États-Unis, où l'abstention est souvent élevée. Beaucoup de gens disent que leur vote ne compte pas. Je me suis demandé quelle était vraiment la probabilité qu'un seul vote change le résultat. J'ai découvert que la loi binomiale permettait de la calculer, et que la réponse dépend fortement du nombre de votants et de l'écart attendu.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une probabilité d'égalité avec la loi binomiale et des combinaisons, et étudier son évolution avec le nombre de votants.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   « Mon vote ne changera rien » : c'est un argument fréquent de ceux qui s'abstiennent. Problématique : quelle est la probabilité qu'un vote soit décisif, et suffit-elle à juger s'il vaut la peine de voter ?

2. 2. Mathématiques : une égalité parfaite

   4 min

   Deux candidats, $n$n autres votants (avec $n$n pair). Votre vote est décisif si les autres se partagent exactement à égalité, $\frac{n}{2}$n/2 de chaque côté. Modèle : chacun vote pour A avec la probabilité $\frac{1}{2}$1/2, indépendamment. Le nombre de voix pour A suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{2}\right)$mathcal B(n;1/2).

   $P(\text{eˊgaliteˊ})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$P( égalité )=binom nn/2(1/2)ⁿ. Pour $n=10$n=10 : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)=252$binom105=252, et $\frac{252}{1024}\approx 24,6\%$252/(1 024)≈24,6 %. Pour $n=100$n=100 : environ $8\%$8 %.

   Pour $n$n grand, une approximation classique donne $P(\text{eˊgaliteˊ})\approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}}$P( égalité )≈√(2/(π n)). Pour un million de votants : $\sqrt{\frac{2}{\pi \times 10^6}}\approx 0,08\%$√(2/π×10⁶)≈0,08 %. La probabilité décroît comme $\frac{1}{\sqrt{n}}$1/( √n ) : multiplier les votants par 100 ne la divise que par 10.

   Mais ce modèle suppose une élection parfaitement serrée. Si l'on s'attend à 52 % pour A, l'égalité devient extrêmement improbable pour un grand nombre de votants. Dans la réalité, des chercheurs américains ont estimé que la probabilité qu'un vote décide de l'élection présidentielle était de l'ordre de 1 sur 60 millions en moyenne, et bien plus forte dans un État très disputé.

   Est-ce rationnel de voter ? Une probabilité faible multipliée par un enjeu énorme (des politiques qui touchent des centaines de millions de personnes) peut donner une espérance importante. Et les élections locales, avec peu de votants, sont parfois réellement décidées à une voix.

3. 3. In English: "Every vote counts"

   3 min

   American campaigns often repeat that "every vote counts". There are real examples of elections decided by a single vote or by a tie. In 2017, a seat in the Virginia House of Delegates ended in a perfect tie, and the winner was chosen by drawing a name from a bowl; the result decided which party controlled the chamber. In 2000, the presidential election was decided in Florida by 537 votes out of almost six million.

   Turnout in the United States is lower than in many European democracies: about two thirds of eligible citizens voted in 2020, a record for more than a century. Political scientists debate the "paradox of voting": if one vote almost never changes the result, why do people vote at all? Some answer with probability and expected value; others insist on civic duty, identity and the feeling of belonging to a community. For many Americans, especially those whose ancestors fought for the right to vote, voting is also a matter of dignity.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La probabilité d'une égalité parfaite vaut 24,6 % parmi 10 votants, mais seulement environ $\sqrt{\frac{2}{\pi n}}$√(2/(π n)), soit 0,08 %, pour un million, et beaucoup moins si l'élection n'est pas serrée. Faible, elle n'est pas nulle, et l'enjeu peut la compenser. J'ouvre sur le « paradoxe du vote » et sur les raisons non mathématiques de voter.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier l'hypothèse d'une élection parfaitement serrée.
• Confondre décroissance en 1/n et en 1/√n.
• Conclure que voter est irrationnel sans considérer l'enjeu.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →
• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →

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