Pourquoi n'y aura-t-il jamais plus de 21 millions de bitcoins ? Une série géométrique

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié les débats sur la finance et la méfiance envers les banques après la crise de 2008, et le bitcoin est né à ce moment-là, avec un message critique envers le système bancaire inscrit dans son premier bloc. On répète souvent qu'il ne pourra jamais y avoir plus de 21 millions de bitcoins. J'ai voulu comprendre d'où vient ce nombre, et j'ai retrouvé une série géométrique.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la somme d'une suite géométrique et sa limite pour établir une borne, et étudier une décroissance par paliers.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le bitcoin est une monnaie numérique créée en 2009 sans banque centrale. De nouveaux bitcoins sont créés à chaque bloc de transactions validé, environ toutes les dix minutes. Problématique : pourquoi leur nombre total est-il limité, et comment calculer cette limite ?

2. 2. Mathématiques : une série géométrique

   4 min

   Règle : au départ, chaque bloc crée 50 bitcoins. Tous les 210 000 blocs (environ 4 ans), la récompense est divisée par 2 : 50, puis 25, puis 12,5, puis 6,25, puis 3,125 depuis 2024.

   Bitcoins créés pendant la période $k$k (en commençant à $k=0$k=0) : $210000\times \frac{50}{2^k}$210 000×50/2^(k). Pendant la première période : $210000\times 50=10500000$210 000×50=10 500 000. Total après $n$n périodes : $S_n=10500000\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)=10500000\times \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}=21000000\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$Sₙ=10 500 000(1+1/2+1/4+…+1/2ⁿ⁻¹)=10 500 000×(1-(1/2)ⁿ)/(1-1/2)=21 000 000(1-1/2ⁿ).

   Limite : comme ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$(1/2)ⁿ→0, $S_n\to 21000000$Sₙ→21 000 000. La somme s'approche de 21 millions sans jamais les dépasser. Après 4 périodes (2024) : $21\times \left(1-\frac{1}{16}\right)\approx 19,7$21×(1-1/16)≈19,7 millions, soit environ 94 % déjà créés.

   Fin de l'émission : un bitcoin est divisible en $10^8$10⁸ « satoshis », la plus petite unité. La récompense devient inférieure à 1 satoshi quand $\frac{50\times 10^8}{2^k}<1$50×10⁸/2^(k)<1, soit $2^k>5\times 10^9$2^(k)>5×10⁹, donc $k>\frac{\ln (5\times 10^9)}{\ln 2}\approx 32,2$k>ln(5×10⁹)/ln2≈32,2. Après 33 divisions, soit $33\times 4=132$33×4=132 ans après 2009, vers 2140, plus aucun bitcoin ne sera créé.

   C'est le même raisonnement que le paradoxe de Zénon : une infinité de morceaux de plus en plus petits peut avoir une somme finie.

3. 3. In English: "Chancellor on brink of second bailout for banks"

   3 min

   Bitcoin was described in 2008 in a paper signed by "Satoshi Nakamoto", whose real identity is still unknown. The first block, mined on the 3rd of January 2009, contains a headline from the British newspaper The Times of that day: "Chancellor on brink of second bailout for banks." Many people interpret this as a criticism of governments that rescued banks with public money during the financial crisis.

   The limit of 21 million was designed to make bitcoin scarce, like gold, and to protect it from inflation: no central bank can print more. Supporters see it as a form of "digital gold" and a tool of freedom. Critics point out that its price is extremely volatile, that it has been used for criminal activities, and that "mining" consumes huge amounts of electricity. In 2021, El Salvador became the first country to make bitcoin legal tender, a controversial decision. The debate is about trust: should money depend on institutions or on mathematics and code?

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La récompense divisée par 2 tous les 210 000 blocs donne une série géométrique de somme $21000000\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$21 000 000(1-1/2ⁿ), qui tend vers 21 millions sans les atteindre, et l'émission s'arrêtera vers 2140. Une somme géométrique fonde la rareté programmée du bitcoin. J'ouvre sur le débat entre confiance dans les institutions et confiance dans le code.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que le nombre de bitcoins atteindra exactement 21 millions.
• Oublier que la récompense diminue par paliers, et non continûment.
• Confondre limite de l'offre et stabilité du prix.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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