Un chien qui n'aboie pas peut-il être un indice ? Sherlock Holmes et la formule de Bayes

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la figure du détective dans la littérature britannique, et Sherlock Holmes en est le modèle. Une réplique célèbre m'a frappé : Holmes s'intéresse au « curieux incident du chien pendant la nuit », alors que le chien n'a rien fait. J'ai compris que ce raisonnement pouvait se formaliser avec les probabilités conditionnelles, que nous étudions en première.

L'enjeu et les notions du programme

Mettre à jour une probabilité avec la formule de Bayes et un arbre pondéré, en traitant l'absence d'un événement comme une information.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un cheval de course, Silver Blaze, a disparu et son entraîneur a été tué. Un chien gardait l'écurie. Problématique : comment un fait qui ne s'est pas produit peut-il orienter une enquête, et comment le mesurer ?

2. 2. Mathématiques : Bayes et le silence du chien

   4 min

   Deux hypothèses : F « le coupable est un familier des lieux », I « le coupable est un inconnu ». Avant l'indice, on les juge également probables : $P(F)=P(I)=0,5$P(F)=P(I)=0,5.

   Le chien aboie devant un inconnu avec une probabilité de 0,9, devant un familier avec une probabilité de 0,1. Notons S « le chien est resté silencieux » : $P_I(S)=0,1$P_I(S)=0,1 et $P_F(S)=0,9$P_F(S)=0,9.

   Probabilités totales : $P(S)=0,5\times 0,9+0,5\times 0,1=0,5$P(S)=0,5×0,9+0,5×0,1=0,5. Formule de Bayes : $P_S(F)=\frac{P(F)\times P_F(S)}{P(S)}=\frac{0,45}{0,5}=0,9$P_S(F)=(P(F)× P_F(S))/P(S)=0,45/0,5=0,9. Le silence fait passer la probabilité d'un familier de 50 % à 90 %.

   Le rapport de vraisemblance $\frac{P_F(S)}{P_I(S)}=9$P_F(S)/P_I(S)=9 mesure la force de l'indice : il multiplie la cote de F par 9. Si l'on pensait d'abord à un inconnu ($P(F)=0,2$P(F)=0,2), la probabilité devient $\frac{0,2\times 0,9}{0,2\times 0,9+0,8\times 0,1}=\frac{0,18}{0,26}\approx 69\%$0,2×0,9/(0,2×0,9+0,8×0,1)=0,18/0,26≈69 % : l'indice est fort, mais ne suffit pas seul.

   Le raisonnement montre que l'absence d'un événement attendu est une information à part entière. Il faut aussi se méfier : si le chien était drogué, le silence ne dirait rien, et il faudrait une autre hypothèse.

3. 3. In English: "the curious incident"

   3 min

   In Arthur Conan Doyle's short story Silver Blaze (1892), a police inspector asks Holmes: "Is there any point to which you would wish to draw my attention?" Holmes answers: "To the curious incident of the dog in the night-time." "The dog did nothing in the night-time." "That was the curious incident," remarks Sherlock Holmes.

   The dialogue is famous because it reverses our expectations: the clue is a non-event. Holmes concludes that the person who took the horse was someone the dog knew well, and he is right. Conan Doyle, a doctor, presented Holmes as a man of science who applies systematic observation and reasoning. His method is often called "deduction", but it is actually closer to inference: he chooses the most probable explanation, which is exactly what Bayes' formula does. The phrase "the curious incident of the dog in the night-time" later inspired the title of Mark Haddon's novel.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec un rapport de vraisemblance de 9, le silence du chien fait passer la probabilité d'un coupable familier de 50 % à 90 %. La formule de Bayes formalise le raisonnement de Holmes et montre que l'absence d'un fait est une donnée. J'ouvre sur l'usage des probabilités dans les enquêtes et les tribunaux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre P_F(S) et P_S(F).
• Oublier les autres explications possibles du silence.
• Présenter le raisonnement comme une certitude.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Probabilités conditionnelles et indépendance (Terminale spé maths) →

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