Un singe tapant au hasard finirait-il par écrire Hamlet ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié Hamlet, et la réplique « To be, or not to be » est sans doute la plus célèbre de la littérature anglaise. J'ai découvert une expérience de pensée connue sous le nom de « théorème du singe savant » : un singe tapant au hasard pendant un temps infini écrirait presque sûrement les œuvres de Shakespeare. J'ai voulu calculer combien de temps cela prendrait vraiment.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité d'une suite de tirages indépendants, l'espérance du nombre d'essais et la limite de 1 − (1 − p)ⁿ.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   L'idée d'un singe qui écrirait Shakespeare par hasard revient souvent dans la culture populaire, des Simpson aux romans de science-fiction. Problématique : est-ce mathématiquement vrai, et en combien de temps ?

2. 2. Mathématiques : une probabilité minuscule, une limite égale à 1

   4 min

   Le singe tape sur un clavier de 27 touches (26 lettres et l'espace), chaque touche avec la probabilité $\frac{1}{27}$1/27, indépendamment. « to be or not to be » compte 18 caractères. La probabilité de le taper en un essai de 18 touches vaut ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{18}=27^{-18}\approx 1,7\times 10^{-26}$(1/27)¹⁸=27⁻¹⁸≈1,7×10⁻²⁶.

   Le nombre d'essais avant le premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$p, d'espérance $\frac{1}{p}=27^{18}\approx 5,8\times 10^{25}$1/p=27¹⁸≈5,8×10²⁵. À 10 touches par seconde, en considérant chaque position de départ comme un essai, cela fait environ $5,8\times 10^{24}$5,8×10²⁴ secondes, soit près de $2\times 10^{17}$2×10¹⁷ ans. L'Univers a environ $1,4\times 10^{10}$1,4×10¹⁰ ans.

   Pourtant, la probabilité de réussir au moins une fois en $n$n essais vaut $1-(1-p{)}^n$1-(1-p)ⁿ. Comme $0<1-p<1$0<1-p<1, $(1-p{)}^n\to 0$(1-p)ⁿ→0 : la probabilité tend vers 1. Le succès est « presque sûr » en un temps infini, mais inaccessible en pratique.

   Pour un mot de 5 lettres comme « hello », $p=27^{-5}\approx 7\times 10^{-8}$p=27⁻⁵≈7×10⁻⁸ ; en $10^7$10⁷ essais, $1-(1-p{)}^{10^7}\approx 50\%$1-(1-p)^(10⁷)≈50 %. Chaque caractère supplémentaire multiplie le temps moyen par 27 : la croissance exponentielle rend les textes longs hors de portée. Hamlet compte environ 130 000 caractères.

3. 3. In English: monkeys, Shakespeare and creativity

   3 min

   The image was popularised in the early twentieth century, notably by the French mathematician Émile Borel, but it became especially famous in English, where it is linked to Shakespeare. In 2003, researchers at Plymouth University actually left a computer keyboard in an enclosure with six macaques for a month. The monkeys produced five pages, mostly of the letter "S", and they ended up breaking the keyboard.

   The thought experiment raises a philosophical question: what is the difference between a text produced by chance and a work of art? Shakespeare did not pick letters at random. He chose words, rhythms and images with intention. The probability calculation shows that randomness alone could never produce Hamlet in any realistic time. Some scientists have used a similar argument to explain natural selection: in his "weasel program" (1986), Richard Dawkins showed that if each correct letter is kept, the phrase "Methinks it is like a weasel" appears in a few dozen generations. Selection is not pure chance.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La probabilité de taper « to be or not to be » vaut $27^{-18}$27⁻¹⁸, et il faudrait en moyenne près de $2\times 10^{17}$2×10¹⁷ ans, même si la probabilité de réussir tend vers 1 en un temps infini. Le hasard pur ne peut pas produire une œuvre en un temps raisonnable. J'ouvre sur le programme de Dawkins, qui montre la puissance de la sélection.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre probabilité qui tend vers 1 et événement réalisé en un temps raisonnable.
• Oublier les espaces dans le nombre de caractères.
• Additionner les probabilités au lieu de les multiplier.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →
• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →

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