Une course aux armements finit-elle par se stabiliser ou s'emballe-t-elle forcément ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié les tensions qui ont précédé la Première Guerre mondiale, avec la course aux armements navals entre le Royaume-Uni et l'Allemagne. J'ai découvert que le météorologue Lewis Fry Richardson avait modélisé ces courses aux armements par des équations, après avoir vécu la guerre comme ambulancier. Son modèle, une suite arithmético-géométrique, montre quand l'escalade devient incontrôlable.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une interaction par une suite arithmético-géométrique, étudier sa convergence selon les paramètres et interpréter politiquement le seuil.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Deux pays rivaux augmentent leurs dépenses militaires en réaction l'un à l'autre. Problématique : cette dynamique conduit-elle forcément à l'escalade, ou peut-elle se stabiliser ?

2. 2. Mathématiques : une suite arithmético-géométrique

   4,5 min

   Richardson propose : le budget $x_{n+1}$xₙ₊₁ d'un pays l'année suivante vaut son budget $x_n$xₙ, plus une réaction $a{y}_n$a yₙ au budget adverse, moins un frein $m{x}_n$m xₙ (le coût économique), plus une constante $g$g (les griefs, la méfiance). Même règle pour l'autre pays.

   Pour deux pays symétriques avec $x_n=y_n$xₙ=yₙ : $x_{n+1}=(1-m+a)x_n+g$xₙ₊₁=(1-m+a)xₙ+g. C'est une suite arithmético-géométrique de raison $r=1-m+a$r=1-m+a.

   Son point fixe $\ell$ℓ vérifie $\ell =r\ell +g$ℓ=rℓ+g, soit $\ell =\frac{g}{1-r}=\frac{g}{m-a}$ℓ=g/(1-r)=g/(m-a). En posant $v_n=x_n-\ell$vₙ=xₙ-ℓ, on obtient $v_{n+1}=r{v}_n$vₙ₊₁=rvₙ : une suite géométrique.

   Cas 1 : $a=0,1$a=0,1 (réaction), $m=0,2$m=0,2 (frein), $g=10$g=10. Alors $r=0,9$r=0,9 et $x_n$xₙ converge vers $\ell =\frac{10}{0,1}=100$ℓ=10/0,1=100 : la course se stabilise.

   Cas 2 : $a=0,3$a=0,3, $m=0,2$m=0,2. Alors $r=1,1>1$r=1,1>1 : $v_n$vₙ croît géométriquement, la course s'emballe. Le seuil est $a=m$a=m : l'escalade est inévitable dès que la réaction à l'adversaire l'emporte sur le frein économique.

3. 3. HGGSP : des courses réelles

   2,5 min

   Avant 1914, la rivalité navale anglo-allemande (cuirassés Dreadnought) illustre une course où chaque construction appelait une réponse. Pendant la guerre froide, la course aux armements nucléaires a mené à des dizaines de milliers d'ogives, avant les traités de limitation.

   Le modèle suggère des leviers de paix : réduire $g$g (diplomatie, mesures de confiance), réduire $a$a (traités de limitation, vérifications), augmenter $m$m (coût économique, pression de l'opinion). Richardson, pacifiste, espérait que la compréhension mathématique des conflits aiderait à les prévenir. Son modèle reste toutefois une simplification de décisions politiques complexes.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Dans le modèle de Richardson, la course aux armements suit une suite arithmético-géométrique de raison $1-m+a$1-m+a : elle se stabilise vers $\frac{g}{m-a}$g/(m-a) si la réaction est plus faible que le frein, et s'emballe sinon. Le seuil $a=m$a=m donne une lecture mathématique de l'escalade. J'ouvre sur les traités de désarmement, qui cherchent à diminuer la réaction mutuelle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier la constante g dans le point fixe.
• Croire que toute course aux armements s'emballe.
• Présenter le modèle comme une description exacte des décisions politiques.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

Autres questions : faire la guerre, faire la paix

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