Question transversaleMathsHGGSPFaire la guerre, faire la paix

Pourquoi les stratèges cherchent-ils à concentrer leurs forces ? Les lois de Lanchester

Q: Pourquoi la dérivée de A² vaut-elle 2AA' ?

Par la dérivée de $u²$, qui vaut $2uu'$.

Q: Que devient la loi si les efficacités diffèrent ?

Avec $A'=-bB$ et $B'=-aA$, c'est $aA²-bB²$ qui est constant.

Q: Combien faut-il de soldats pour compenser une efficacité deux fois plus faible ?

Il faut $aA²=bB²$ avec $a=b/2$ : $A=sqrt2 B$, environ 41 % de soldats en plus.

Dans le modèle de Lanchester, chaque camp perd des soldats proportionnellement à l'effectif adverse. On montre que A² − B² reste constant : 1 000 soldats contre 500 l'emportent avec √(1 000² − 500²) ≈ 866 survivants. Face à 1 000 soldats réunis, ils feraient jeu égal ; face à deux groupes de 500 attaqués l'un après l'autre, ils gagnent avec 707 survivants. La force compte au carré.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la bataille de Trafalgar (1805), où Nelson a coupé la flotte franco-espagnole en deux pour l'affronter par morceaux. J'ai découvert qu'un ingénieur britannique, Frederick Lanchester, avait proposé en 1916 un modèle mathématique expliquant l'intérêt de cette tactique. J'ai voulu comprendre pourquoi deux fois plus de soldats donnent un avantage bien plus que double.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la dérivation pour mettre en évidence une quantité conservée dans un système d'équations, et en déduire l'avantage de la concentration des forces.

Mathématiques

Dérivation d'une fonction composée : (u²)' = 2uu' (terminale)
Fonctions dont la dérivée est nulle : fonctions constantes (première)
Racine carrée, théorème de Pythagore comme analogie (seconde)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Faire la guerre, faire la paix : formes de conflits et modes de résolution (terminale, thème 2)
La guerre au XIXᵉ et au XXᵉ siècle, de Clausewitz aux guerres mondiales (terminale, thème 2, axe 1)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Deux armées s'affrontent ; chaque soldat peut viser n'importe quel ennemi, comme dans un combat moderne à distance. Problématique : comment évoluent les effectifs, et pourquoi la supériorité numérique est-elle si décisive ?
2. Mathématiques : une quantité conservée
4,5 min
On note $A (t)$ A(t) et $B (t)$ B(t) les effectifs. Chaque camp perd des soldats en proportion de l'effectif adverse : $A^{'} = - k B$ A'=-kB et $B^{'} = - k A$ B'=-kA (même efficacité $k$ k pour simplifier).
Calculons la dérivée de $A^{2} - B^{2}$ A²-B² : $2 A A^{'} - 2 B B^{'} = 2 A (- k B) - 2 B (- k A) = 0$ 2AA'-2BB'=2A(-kB)-2B(-kA)=0. La quantité $A^{2} - B^{2}$ A²-B² est donc constante au cours de la bataille : c'est la « loi du carré » de Lanchester.
Si $A_{0} = 1000$ A₀=1 000 et $B_{0} = 500$ B₀=500, la bataille s'arrête quand $B = 0$ B=0 : $A^{2} = 100 0^{2} - 50 0^{2} = 750000$ A²=1 000²-500²=750 000, soit $A \approx 866$ A≈866. L'armée A gagne en ne perdant que 134 soldats. Avec 1 000 contre 800 : $100 0^{2} - 80 0^{2} = 600$ √(1 000²-800²)=600 survivants.
Concentration : face à 1 000 ennemis réunis, A fait jeu égal ( $100 0^{2} - 100 0^{2} = 0$ 1 000²-1 000²=0). Mais si l'ennemi est divisé en deux groupes de 500 attaqués successivement, A bat le premier avec 866 survivants, puis le second avec $86 6^{2} - 50 0^{2} \approx 707$ √(866²-500²)≈707. Diviser l'adversaire change une défaite assurée en victoire.
La force d'une armée est proportionnelle au carré de son effectif : doubler les troupes quadruple la puissance de combat.
3. HGGSP : de Trafalgar à la doctrine militaire
2,5 min
À Trafalgar, Nelson attaque en deux colonnes perpendiculaires à la ligne ennemie, la coupant en morceaux que sa flotte affronte en supériorité locale. Napoléon appliquait aussi la concentration des forces au point décisif. Le modèle de Lanchester donne un fondement mathématique à ces principes.
Le modèle est très simplifié : il ignore le terrain, la logistique, le moral, la technologie et les alliances. Pour les combats au corps à corps, Lanchester propose une loi « linéaire » différente. Les modèles servent aux simulations militaires modernes, mais l'histoire montre que des armées inférieures en nombre ont parfois gagné par la ruse, la mobilité ou la guérilla.
4. Conclusion
1,5 min
Dans le modèle de Lanchester, $A^{2} - B^{2}$ A²-B² est constant : 1 000 soldats battent 500 adversaires en en gardant 866, et battent deux groupes de 500 l'un après l'autre alors qu'ils feraient jeu égal contre 1 000 réunis. La dérivation explique la valeur de la concentration des forces. J'ouvre sur la guérilla, qui refuse justement le combat frontal décrit par ce modèle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A^{'} = - k B, B^{'} = - k A \Rightarrow (A^{2} - B^{2})^{'} = 2 A A^{'} - 2 B B^{'} = 0 A'=-kB, B'=-kA \Rightarrow (A²-B²)'=2AA'-2BB'=0 1000 contre 500 : 1 0^{6} - 2, 5 \times 1 0^{5} \approx 866 deux groupes de 500 : 866 \to 86 6^{2} - 50 0^{2} \approx 707 1 000 contre 500: \sqrt(10⁶-2,5\times10⁵)\approx866 deux groupes de 500 : 866\to\sqrt(866²-500²)\approx707

Conclusion : la réponse à la question

Une dérivée nulle révèle une loi cachée : la puissance d'une armée croît comme le carré de son effectif. Le modèle de Lanchester explique la tactique de la concentration, tout en montrant ses propres limites face à la complexité réelle des guerres.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la dérivée de A² vaut-elle 2AA' ?

Par la dérivée de $u^{2}$ u², qui vaut $2 u u^{'}$ 2uu'.

Que devient la loi si les efficacités diffèrent ?

Avec $A^{'} = - b B$ A'=-bB et $B^{'} = - a A$ B'=-aA, c'est $a A^{2} - b B^{2}$ aA²-bB² qui est constant.

Combien faut-il de soldats pour compenser une efficacité deux fois plus faible ?

Il faut $a A^{2} = b B^{2}$ aA²=bB² avec $a = \frac{b}{2}$ a=b/2 : $A = 2 B$ A=sqrt2 B, environ 41 % de soldats en plus.

Quelle tactique Nelson a-t-il employée à Trafalgar ?

Il a coupé la ligne ennemie pour combattre ses morceaux en supériorité locale.

Pourquoi le modèle ne s'applique-t-il pas à la guérilla ?

La guérilla évite le combat frontal où chaque soldat peut viser tous les ennemis.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que deux fois plus de soldats donnent un avantage seulement double.
Oublier les hypothèses très simplificatrices du modèle.
Appliquer la loi du carré au combat au corps à corps.

Revoir les notions

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