Comment des statisticiens alliés ont-ils estimé la production de chars allemands mieux que les services de renseignement ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la Seconde Guerre mondiale et le rôle du renseignement. J'ai découvert qu'une des meilleures sources sur la production de guerre allemande n'était pas l'espionnage, mais les numéros de série des chars capturés, analysés par des statisticiens. J'ai voulu comprendre leur formule, qui permet d'estimer un total à partir de quelques observations.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un estimateur à partir d'un échantillon de numéros, justifier sa formule par un raisonnement sur les écarts moyens et comparer avec une estimation naïve.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Les Alliés voulaient savoir combien de chars l'Allemagne produisait. Les espions donnaient des chiffres très élevés et peu fiables. Les chars capturés portaient des numéros de série, numérotés de 1 à $N$N. Problématique : comment estimer $N$N à partir de quelques numéros observés ?

2. 2. Mathématiques : un estimateur

   4,5 min

   On suppose que les $k$k chars capturés sont tirés au hasard parmi les $N$N, et l'on note $m$m le plus grand numéro observé. Estimer $N$N par $m$m est trop faible : il est peu probable d'avoir capturé justement le dernier char.

   Idée : les $k$k numéros observés découpent l'intervalle de 1 à $m$m en morceaux. En moyenne, l'écart entre deux numéros observés vaut environ $\frac{m}{k}$m/k. Il est naturel de supposer que l'écart entre $m$m et $N$N est du même ordre. D'où l'estimateur $\hat{N}=m+\frac{m}{k}-1=m\left(1+\frac{1}{k}\right)-1$N̂=m+m/k-1=m(1+1/k)-1.

   Exemple : 5 chars de numéros 42, 87, 133, 190 et 240. Ici $m=240$m=240, $k=5$k=5 : $\hat{N}=240\times 1,2-1=287$N̂=240×1,2-1=287. On montre (calcul admis) que cet estimateur est sans biais : en moyenne sur tous les échantillons possibles, il donne exactement $N$N.

   Plus on observe de chars, plus $\frac{m}{k}$m/k diminue et plus $m$m s'approche de $N$N : l'estimation se précise.

3. 3. HGGSP : renseignement et statistique

   3 min

   Les statisticiens alliés ont appliqué cette méthode aux numéros de châssis, de moteurs et même de roues. Pour la période de 1940 à 1942, elle donnait environ 246 chars produits par mois, quand le renseignement classique en estimait 1 400. Après la guerre, les archives du ministère allemand de l'Armement ont indiqué 245.

   L'épisode montre que la connaissance, enjeu de puissance, ne vient pas seulement de l'espionnage : l'analyse rigoureuse de données publiques ou capturées peut être plus fiable. Il a aussi conduit, après-guerre, à éviter les numérotations séquentielles des matériels sensibles.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec quelques numéros de série, l'estimateur $m\left(1+\frac{1}{k}\right)-1$m(1+1/k)-1 donne le nombre total de chars : environ 246 par mois, contre 1 400 pour le renseignement, et 245 en réalité. La statistique a battu l'espionnage. J'ouvre sur l'usage de la même méthode pour estimer le nombre de téléphones vendus à partir de numéros de série.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Prendre le plus grand numéro comme estimation.
• Oublier l'hypothèse de tirage au hasard.
• Croire qu'il faut capturer beaucoup de chars pour une bonne estimation.

Revoir les notions

• Échantillonnage (Première spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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