Question transversaleMathsHGGSPOcéans et espace

L'orbite terrestre peut-elle devenir inutilisable à cause des débris spatiaux ?

Q: Pourquoi le nombre de collisions possibles croît-il comme N² ?

Chaque paire d'objets peut entrer en collision : il y a $(N(N-1))/2$ paires.

Si chacun de 10 000 satellites a une probabilité de 1/10 000 par an de subir une collision, la probabilité qu'il y en ait au moins une dans l'année vaut 1 − (1 − 10⁻⁴)^10 000 ≈ 1 − e⁻¹ ≈ 63 %. Avec 20 000 satellites, environ 86 %. Chaque collision produit des débris qui augmentent le risque : c'est le syndrome de Kessler, une réaction en chaîne.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié l'espace comme un bien commun menacé. J'ai appris qu'en 2009, deux satellites, l'un américain et l'autre russe, sont entrés en collision, et qu'en 2021 un tir de missile russe contre un satellite a créé des milliers de débris. Je me suis demandé comment estimer le risque de collision, et pourquoi les spécialistes parlent de réaction en chaîne.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité d'au moins un événement par le complémentaire, l'approcher par l'exponentielle et modéliser un emballement.

Mathématiques

Probabilité de l'événement contraire, indépendance (première, terminale)
Limite de (1 − 1/n)ⁿ, fonction exponentielle (terminale)
Suites : modèle d'emballement (première)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

De nouveaux espaces de conquête : l'espace, appropriation et gouvernance (terminale, thème 1)
Faire la guerre, faire la paix : la militarisation de l'espace (terminale, thème 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Des dizaines de milliers d'objets de plus de 10 cm tournent autour de la Terre, la plupart hors d'usage. Problématique : quel est le risque de collision, et peut-il devenir incontrôlable ?
2. Mathématiques : au moins une collision
4 min
Supposons que chaque satellite ait, indépendamment, une probabilité $p = 1 0^{- 4}$ p=10⁻⁴ par an de subir une collision. Avec $n = 10000$ n=10 000 satellites, la probabilité qu'aucun ne soit touché vaut $(1 - p)^{n}$ (1-p)ⁿ. La probabilité d'au moins une collision : $1 - (1 - 1 0^{- 4})^{10000}$ 1-(1-10⁻⁴)^(10 000).
On sait que $(1 - \frac{1}{n})^{n}$ (1-1/n)ⁿ tend vers $e^{- 1}$ e⁻¹ quand $n \to + \infty$ n→+∞. Ici $p = \frac{1}{n}$ p=1/n, donc la probabilité vaut environ $1 - e^{- 1} \approx 0, 63$ 1-e⁻¹≈0,63. Un risque individuel minuscule devient presque certain à l'échelle de tous les satellites.
Avec $n = 20000$ n=20 000 : $1 - (1 - 1 0^{- 4})^{20000} \approx 1 - e^{- 2} \approx 0, 86$ 1-(1-10⁻⁴)^(20 000)≈1-e⁻²≈0,86. Plus généralement, $1 - (1 - p)^{n} \approx 1 - e^{- n p}$ 1-(1-p)ⁿ≈1-e^(-np).
Emballement : chaque collision crée des débris, qui augmentent $p$ p pour tous. Le nombre de collisions possibles entre $N$ N objets est $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ (N(N-1))/2 : il croît comme $N^{2}$ N². Si le nombre d'objets double, les collisions possibles sont presque multipliées par 4. Au-delà d'une certaine densité, les débris produits par les collisions dépassent ceux qui retombent : c'est le syndrome de Kessler (1978).
3. HGGSP : un bien commun sans gouvernement
3 min
Le traité de l'espace de 1967 interdit l'appropriation de l'espace par un État et y proscrit les armes nucléaires, mais ne prévoit pas de règle contraignante sur les débris. Les tirs antisatellites (chinois en 2007, russe en 2021) ont chacun produit des milliers de fragments, dénoncés par la communauté internationale.
Avec les constellations de milliers de satellites lancées par des entreprises privées, l'orbite basse se densifie très vite. L'espace devient l'exemple d'un bien commun menacé par la somme d'actions individuelles, comme la haute mer : chacun a intérêt à lancer, et tous risquent de perdre l'usage d'orbites essentielles aux communications, à la météo et à la navigation.
4. Conclusion
1,5 min
Avec 10 000 satellites et un risque individuel de $1 0^{- 4}$ 10⁻⁴, la probabilité d'au moins une collision par an approche $1 - e^{- 1} \approx 63 %$ 1-e⁻¹≈63 %, et le nombre de collisions possibles croît comme le carré du nombre d'objets. Les probabilités montrent pourquoi l'orbite terrestre est un bien commun fragile. J'ouvre sur les projets de nettoyage de l'orbite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (au moins une) = 1 - (1 - p)^{n} \approx 1 - e^{- n p} P( au moins une )=1-(1-p)ⁿ\approx1-e^(-np) n = 10000, p = 1 0^{- 4} : 1 - e^{- 1} \approx 0, 63 n = 20000 : 1 - e^{- 2} \approx 0, 86 \frac{N ( N - 1 )}{2} \sim \frac{N ^{2}}{2} n=10 000, p=10⁻⁴: 1-e⁻¹\approx0,63 n=20 000: 1-e⁻²\approx0,86 (N(N-1))/2simN²/2

Conclusion : la réponse à la question

Un risque individuel très faible devient presque certain à l'échelle de milliers de satellites, et les collisions s'entretiennent elles-mêmes. Les mathématiques du risque éclairent l'urgence d'une gouvernance de l'espace.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi passer par l'événement contraire ?

« Au moins une collision » regroupe beaucoup de cas ; « aucune collision » est un seul cas, facile à calculer.

Quelle hypothèse ce calcul suppose-t-il ?

L'indépendance des risques des différents satellites, ce qui est une simplification.

Pourquoi le nombre de collisions possibles croît-il comme N² ?

Chaque paire d'objets peut entrer en collision : il y a $\frac{N ( N - 1 )}{2}$ (N(N-1))/2 paires.

Que dit le traité de l'espace de 1967 ?

Il interdit l'appropriation de l'espace par un État et le placement d'armes nucléaires en orbite.

Qu'est-ce qu'un tir antisatellite ?

La destruction d'un satellite par un missile, qui produit un nuage de débris.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les probabilités au lieu de passer par le contraire.
Oublier l'hypothèse d'indépendance.
Croire que le risque croît proportionnellement au nombre d'objets.

Revoir les notions

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