Question transversaleMathsHGGSPOcéans et espace

Comment un récepteur GPS sait-il où il se trouve, et pourquoi l'Europe a-t-elle construit Galileo ?

Q: Pourquoi soustraire les équations ?

Les termes $x²+y²$ s'éliminent : il reste des équations du premier degré.

Q: Vérifiez que M est à la bonne distance de B.

$MB²=(3-10)²+4²=49+16=65$.

Un récepteur mesure le temps mis par les signaux de plusieurs satellites pour lui parvenir, et en déduit sa distance à chacun (d = c × Δt). Il est alors à l'intersection de sphères, que l'on calcule en soustrayant les équations pour obtenir un système linéaire. Une erreur d'une microseconde sur l'horloge donne 300 m d'erreur : d'où les horloges atomiques et un quatrième satellite.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié l'espace comme nouveau lieu de rivalités entre puissances, et j'ai appris que l'Union européenne avait dépensé des milliards d'euros pour construire Galileo, alors que le GPS américain était gratuit. Je me suis demandé comment un téléphone peut se localiser à quelques mètres près grâce à des satellites situés à 20 000 km. La réponse tient dans un calcul de distances que l'on peut faire avec la géométrie de seconde.

L'enjeu et les notions du programme

Déterminer une position à partir de distances à des points connus, en ramenant un problème de cercles à un système linéaire.

Mathématiques

Distance dans un repère, équation de cercle (seconde, première)
Systèmes d'équations linéaires (seconde)
Géométrie repérée de l'espace : équation de sphère (terminale)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

De nouveaux espaces de conquête : l'espace, enjeux stratégiques et rivalités (terminale, thème 1)
Analyser les dynamiques des puissances internationales : souveraineté technologique (première, thème 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le GPS américain, le GLONASS russe, le Beidou chinois et le Galileo européen permettent de se localiser partout sur Terre. Problématique : comment des signaux venus de l'espace donnent-ils une position précise, et pourquoi les puissances veulent-elles chacune leur système ?
2. Mathématiques : de la distance à la position
4 min
Chaque satellite émet un signal daté. Le récepteur mesure le temps de trajet $Δ t$ Δ t et en déduit la distance $d = c Δ t$ d=c Δ t, avec $c \approx 3 \times 1 0^{8}$ c≈3×10⁸ m/s. Une erreur d'une microseconde donne $3 \times 1 0^{8} \times 1 0^{- 6} = 300$ 3×10⁸×10⁻⁶=300 m d'erreur : les satellites embarquent des horloges atomiques.
Modèle plan, en km : trois émetteurs $A (0; 0)$ A(0;0), $B (10; 0)$ B(10;0), $C (0; 10)$ C(0;10). Le récepteur mesure $M A^{2} = 25$ MA²=25, $M B^{2} = 65$ MB²=65, $M C^{2} = 45$ MC²=45. Il est sur trois cercles :
$x^{2} + y^{2} = 25$ x²+y²=25, $(x - 10)^{2} + y^{2} = 65$ (x-10)²+y²=65, $x^{2} + (y - 10)^{2} = 45$ x²+(y-10)²=45.
Les termes $x^{2} + y^{2}$ x²+y² gênent, mais disparaissent par soustraction. La deuxième moins la première : $- 20 x + 100 = 40$ -20x+100=40, donc $x = 3$ x=3. La troisième moins la première : $- 20 y + 100 = 20$ -20y+100=20, donc $y = 4$ y=4. Le récepteur est en $M (3; 4)$ M(3;4) ; on vérifie $M A = 5$ MA=5.
Dans l'espace, il faut trois sphères pour se situer, et un quatrième satellite pour une quatrième inconnue : le décalage de l'horloge du récepteur, qui n'est pas atomique. Quatre satellites, quatre inconnues $(x, y, z, t)$ (x,y,z,t).
3. HGGSP : une dépendance stratégique
3 min
Le GPS appartient à l'armée américaine, qui peut dégrader ou couper le signal dans une zone : jusqu'en 2000, la précision civile était volontairement réduite à une centaine de mètres. Or la navigation, l'aviation, l'agriculture, les réseaux électriques et la finance (pour dater les transactions) dépendent de ces signaux.
C'est pourquoi la Russie, la Chine et l'Union européenne ont construit leurs propres systèmes. Galileo, en service depuis 2016, est sous contrôle civil et offre une précision de l'ordre du mètre. L'espace est devenu un lieu de souveraineté, où les infrastructures sont aussi des armes : brouillage et leurrage du GPS sont désormais fréquents dans les zones de conflit.
4. Conclusion
1,5 min
Un récepteur se situe en mesurant des distances $d = c Δ t$ d=c Δ t, puis en résolvant un système : soustraire les équations des cercles donne $x = 3$ x=3 et $y = 4$ y=4. Une microseconde d'erreur coûte 300 m, d'où un quatrième satellite pour corriger l'horloge. J'ouvre sur le brouillage du GPS, nouvel outil des conflits.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

d = c Δ t 1 0^{- 6} s \Rightarrow 300 m d=c Δ t 10⁻⁶ s \Rightarrow300 m ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} = 25 (x - 10)^{2} + y^{2} = 65 x^{2} + (y - 10)^{2} = 45 \Rightarrow {- 20 x + 100 = 40 - 20 y + 100 = 20 \Rightarrow M (3; 4) x²+y²=25 ; (x-10)²+y²=65 ; x²+(y-10)²=45 \Rightarrow -20x+100=40 ; -20y+100=20 \Rightarrow M(3;4)

Conclusion : la réponse à la question

Se localiser revient à résoudre un système d'équations de distances, rendu linéaire par soustraction. Maîtriser ces signaux est devenu un enjeu de puissance, d'où la multiplication des systèmes concurrents.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi soustraire les équations ?

Les termes $x^{2} + y^{2}$ x²+y² s'éliminent : il reste des équations du premier degré.

Pourquoi faut-il quatre satellites et non trois ?

L'horloge du récepteur n'est pas précise : son décalage est une quatrième inconnue.

Vérifiez que M est à la bonne distance de B.

$M B^{2} = (3 - 10)^{2} + 4^{2} = 49 + 16 = 65$ MB²=(3-10)²+4²=49+16=65.

Qui contrôle Galileo ?

L'Union européenne, sous contrôle civil, contrairement au GPS qui dépend de l'armée américaine.

Qu'est-ce que le leurrage ?

L'émission de faux signaux qui font croire au récepteur qu'il est ailleurs.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que le signal parcourt la distance à la vitesse de la lumière : un petit écart de temps donne une grande erreur.
Croire que trois satellites suffisent avec une horloge ordinaire.
Présenter le GPS comme un service neutre et garanti.

Revoir les notions

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