Question transversaleMathsHGGSPOcéans et espace

Jusqu'où peut-on voir en mer, et pourquoi les marines ont-elles besoin d'avions et de satellites ?

Q: Pourquoi peut-on négliger h² ?

Pour $h=30$ m, $h²=900$ m² contre $2Rh≈3,8×10⁸$ m² : l'écart est infime.

Q: Que devient la portée si la hauteur est multipliée par 4 ?

Elle double, car $√(4h)=2 √h $.

À cause de la courbure de la Terre, un observateur à la hauteur h voit l'horizon à la distance d = √(2Rh) ≈ 3,57√h km. Une vigie à 30 m voit à environ 19,6 km ; un radar à 30 m détecte un avion volant à 50 m à moins de 19,6 + 25,2 ≈ 44,8 km. Pour voir plus loin, il faut monter : avions radar et satellites.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, en étudiant la surveillance des espaces maritimes, j'ai lu qu'un navire de guerre ne pouvait détecter avec son radar un missile volant au ras de l'eau qu'au dernier moment. J'ai compris que la raison est géométrique : la Terre est ronde, et l'horizon cache ce qui est trop bas. J'ai voulu calculer la portée de la vue en mer avec le théorème de Pythagore.

L'enjeu et les notions du programme

Établir une formule de distance par le théorème de Pythagore, l'approcher et étudier la fonction racine carrée qui en résulte.

Mathématiques

Théorème de Pythagore, tangente à un cercle (collège, seconde)
Fonction racine carrée et ses variations (seconde)
Approximation : négliger un terme petit (première)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

De nouveaux espaces de conquête : les océans, surveillance et puissance navale (terminale, thème 1)
Faire la guerre, faire la paix : formes de conflits (terminale, thème 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Sur la mer, rien ne semble arrêter le regard. Pourtant les navires disparaissent derrière l'horizon. Problématique : à quelle distance se trouve l'horizon, et quelles conséquences cette limite a-t-elle pour la surveillance des mers ?
2. Mathématiques : Pythagore et la racine carrée
4 min
L'observateur O est à la hauteur $h$ h au-dessus de la mer ; T est le point de l'horizon. Le rayon de la Terre $[C T]$ [CT] est perpendiculaire à la ligne de visée $(O T)$ (OT), tangente à la sphère. Dans le triangle rectangle $O T C$ OTC : $O T^{2} + R^{2} = (R + h)^{2}$ OT²+R²=(R+h)², donc $O T^{2} = 2 R h + h^{2}$ OT²=2Rh+h².
Comme $h$ h est très petit devant $R \approx 6371$ R≈6 371 km, on néglige $h^{2}$ h² : $d \approx 2 R h$ d≈√(2Rh). Avec $h$ h en mètres et $d$ d en km : $d \approx 3, 57 h$ d≈3,57 √h.
Une personne sur la plage ( $h = 2$ h=2 m) voit l'horizon à environ 5 km ; une vigie à 30 m, à $2 \times 6371000 \times 30 \approx 19, 6$ √(2×6 371 000×30)≈19,6 km ; un phare de 50 m, à 25,2 km. La fonction racine carrée croît de moins en moins vite : multiplier la hauteur par 4 ne double que la portée.
Pour voir un objet lui-même en hauteur $H$ H, on additionne deux distances d'horizon : $2 R h + 2 R H$ √(2Rh)+√(2RH). Un radar à 30 m et un avion à 50 m se voient à moins de $19, 6 + 25, 2 \approx 44, 8$ 19,6+25,2≈44,8 km.
3. HGGSP : la course à la hauteur
3 min
Un missile antinavire qui vole à quelques mètres de la mer n'est détecté qu'à une vingtaine de kilomètres, soit moins d'une minute avant l'impact. C'est pourquoi les marines utilisent des avions de guet aérien (comme le Hawkeye embarqué sur le porte-avions Charles de Gaulle) : à 9 000 m d'altitude, l'horizon recule à environ 340 km.
Plus haut encore, les satellites d'observation et d'écoute surveillent des océans entiers. Le contrôle des mers, enjeu majeur de la puissance (routes commerciales, pêche illégale, piraterie, sous-marins), dépend donc de la maîtrise de la hauteur : airs et espace. La géométrie de la sphère explique pourquoi la puissance navale est aussi aérienne et spatiale.
4. Conclusion
1,5 min
Le théorème de Pythagore donne la distance de l'horizon $d \approx 2 R h$ d≈√(2Rh) : environ 19,6 km pour une vigie à 30 m. Cette limite géométrique explique le rôle des avions radar et des satellites dans la surveillance des mers. J'ouvre sur les drones de surveillance maritime, qui permettent d'élever un capteur à moindre coût.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(R + h)^{2} = d^{2} + R^{2} \Rightarrow d = 2 R h + h^{2} \approx 2 R h \approx 3, 57 h (R+h)²=d²+R²\Rightarrow d=\sqrt(2Rh+h²)\approx\sqrt(2Rh)\approx3,57 \sqrth h = 30 m : d \approx 19, 6 km h = 50 m : 25, 2 km 19, 6 + 25, 2 \approx 44, 8 km h=30 m : d\approx19,6 km h=50 m : 25,2 km 19,6+25,2\approx44,8 km

Conclusion : la réponse à la question

La rotondité de la Terre limite la vue à $2 R h$ √(2Rh). Pour surveiller les mers, il faut s'élever : la géométrie explique l'alliance entre puissance navale, aérienne et spatiale.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la ligne de visée est-elle perpendiculaire au rayon ?

Elle est tangente à la sphère au point d'horizon, et une tangente est perpendiculaire au rayon.

Pourquoi peut-on négliger h² ?

Pour $h = 30$ h=30 m, $h^{2} = 900$ h²=900 m² contre $2 R h \approx 3, 8 \times 1 0^{8}$ 2Rh≈3,8×10⁸ m² : l'écart est infime.

Que devient la portée si la hauteur est multipliée par 4 ?

Elle double, car $4 h = 2 h$ √(4h)=2 √h.

Pourquoi un missile qui vole bas est-il dangereux ?

Il reste sous l'horizon du radar jusqu'à une vingtaine de kilomètres, ce qui laisse très peu de temps pour réagir.

Qu'apporte un avion de guet aérien ?

Une hauteur de plusieurs kilomètres, qui repousse l'horizon à plusieurs centaines de kilomètres.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de convertir les mètres en kilomètres.
Croire que la portée est proportionnelle à la hauteur.
Oublier d'ajouter la hauteur de l'objet observé.

Revoir les notions

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