Pourquoi les avions qui vont de Paris à New York passent-ils au-dessus de Terre-Neuve plutôt que de suivre une ligne droite sur la carte ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En suivant un vol Paris–New York sur l'écran de l'avion, j'ai vu la trajectoire monter vers le nord, au-dessus de l'Irlande et de Terre-Neuve, alors que New York est plus au sud que Paris. J'ai cru à un détour. En HGGSP, nous avons étudié les routes aériennes et maritimes. J'ai découvert que ce trajet courbe sur la carte est en fait le plus court, et que le produit scalaire dans l'espace permet de le calculer.

L'enjeu et les notions du programme

Repérer un point de la sphère par des coordonnées, utiliser le produit scalaire dans l'espace pour calculer une distance, et comparer deux trajets.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Sur une carte plane, la ligne droite entre deux villes semble le chemin le plus court. Mais la Terre est une sphère. Problématique : comment calculer la vraie distance entre deux villes, et pourquoi le plus court chemin paraît-il courbe sur la carte ?

2. 2. Mathématiques : produit scalaire et arc de grand cercle

   4,5 min

   On place le centre de la Terre à l'origine. Un point de latitude $\phi$φ et de longitude $\lambda$λ a pour coordonnées $\vec{u}=R(\cos \phi \cos \lambda ;\cos \phi \sin \lambda ;\sin \phi )$vecteur u =R(cosφcosλ; cosφsinλ; sinφ).

   Pour deux villes, le produit scalaire vaut ${\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=R^2\left(\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2\cos ({\lambda }_1-{\lambda }_2)+\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2\right)$vecteur u ₁· vecteur u ₂=R²(cosφ₁cosφ₂cos(λ₁-λ₂)+sinφ₁sinφ₂), après simplification par $\cos {\lambda }_1\cos {\lambda }_2+\sin {\lambda }_1\sin {\lambda }_2=\cos ({\lambda }_1-{\lambda }_2)$cosλ₁cosλ₂+sinλ₁sinλ₂=cos(λ₁-λ₂). Il vaut aussi $R^2\cos \theta$R²cosθ, où $\theta$θ est l'angle au centre.

   Le plus court chemin sur la sphère est un arc de grand cercle (cercle de centre O), de longueur $R\theta$Rθ, avec $\theta$θ en radians.

   Paris (48,86° N ; 2,35° E) et New York (40,71° N ; 74,01° O) : $\cos \theta \approx 0,58$cosθ≈0,58, $\theta \approx 0,916$θ≈0,916 rad, et la distance vaut $6371\times 0,916\approx 5840$6 371×0,916≈5 840 km. Le trajet à cap constant (une droite sur la carte de Mercator) mesure environ 6 080 km : 240 km de plus.

   Sur la carte, l'arc de grand cercle paraît courbé vers le pôle, car la projection étire les hautes latitudes.

3. 3. HGGSP : routes aériennes et maritimes

   2,5 min

   Les compagnies aériennes suivent des routes proches des grands cercles, adaptées aux vents (les « jet streams ») et aux espaces aériens autorisés. Pour Paris–Tokyo, l'écart entre le grand cercle (environ 9 700 km) et le cap constant (environ 11 300 km) dépasse 1 500 km.

   Les routes polaires, ouvertes pendant la guerre froide puis développées, illustrent l'enjeu géopolitique de ces trajectoires : survoler ou non certains territoires change les distances, les coûts et les dépendances. La fonte de la banquise ouvre de même des routes maritimes arctiques plus courtes entre l'Europe et l'Asie.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La distance entre deux villes se calcule par le produit scalaire de leurs vecteurs : Paris–New York mesure environ 5 840 km par le grand cercle, 240 km de moins qu'au cap constant. Le chemin le plus court paraît courbe sur une carte plane. J'ouvre sur les routes maritimes de l'Arctique, que le réchauffement climatique rend accessibles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que la ligne droite sur une carte plane est le plus court chemin.
• Utiliser l'angle en degrés dans la formule de la longueur d'arc.
• Oublier le signe des longitudes à l'ouest.

Revoir les notions

• Géométrie dans l'espace (vecteurs) (Terminale spé maths) →
• Produit scalaire dans le plan (Première spé maths) →

Autres questions : cartes et projections

• Pourquoi le Groenland paraît-il aussi grand que l'Afrique sur la plupart des cartes du monde ?
• Comment mesurer une surface réelle sur une carte, et pourquoi l'échelle ne suffit-elle pas telle quelle ?
• À quoi ressemblerait la carte du monde si la taille des pays dépendait de leur population ?
• Comment le même tableau de chiffres peut-il donner deux cartes qui racontent des histoires opposées ?

Toutes les questions maths-hggsp →