Question transversaleMathsHGGSPPatrimoine, histoire et mémoire

Pourquoi a-t-on fermé la grotte de Lascaux au public ? Une équation différentielle pour le patrimoine

Q: Vérifiez que C(t) est solution.

$C'(t)=be^(-kt)$ et $b-kC(t)=b-b(1-e^(-kt))=be^(-kt)$.

Q: Que se passe-t-il après la fermeture ?

$b=0$ : $C'=-kC$, l'excès décroît exponentiellement vers 0.

Q: Pourquoi un faible renouvellement de l'air est-il dangereux ?

L'équilibre $b/k$ devient très élevé quand $k$ est petit.

Les visiteurs apportent du gaz carbonique et de l'humidité dans la grotte, que l'air renouvelle lentement. Avec un apport constant b et un renouvellement proportionnel à l'excès C, on obtient C' = b − kC, dont la solution C(t) = (b/k)(1 − e^(−kt)) tend vers b/k. L'excès d'équilibre est proportionnel au nombre de visiteurs : c'est pourquoi Lascaux, qui recevait plus d'un millier de visiteurs par jour, a été fermée en 1963.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la protection du patrimoine et j'ai découvert l'histoire de Lascaux, grotte ornée découverte en 1940, ouverte au public puis fermée en 1963, car les peintures se dégradaient. Aujourd'hui, les visiteurs découvrent des répliques. Je me suis demandé comment modéliser l'effet des visiteurs sur l'air de la grotte, et j'ai retrouvé une équation différentielle de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une concentration par une équation différentielle y' = ay + b, la résoudre et interpréter l'équilibre.

Mathématiques

Équations différentielles y' = ay + b (terminale)
Fonction exponentielle et limite en +∞ (terminale)
Proportionnalité de l'équilibre à l'apport (seconde)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Identifier, protéger et valoriser le patrimoine : conservation et médiation (terminale, thème 4)
Le patrimoine mondial et ses menaces (terminale, thème 4)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Les peintures de Lascaux ont environ 20 000 ans. Quinze ans d'ouverture au public ont suffi à les menacer. Problématique : comment les visiteurs dégradent-ils une grotte, et comment un modèle mathématique aide-t-il à décider ?
2. Mathématiques : apport, renouvellement, équilibre
4 min
On note $C (t)$ C(t) l'excès de gaz carbonique dans l'air de la grotte par rapport à l'état naturel. Les visiteurs en apportent une quantité constante $b$ b par heure. L'air se renouvelle lentement : une fraction $k$ k de l'excès s'évacue chaque heure. D'où l'équation $C^{'} (t) = b - k C (t)$ C'(t)=b-kC(t), de la forme $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b avec $a = - k$ a=-k.
La solution constante est $C^{*} = \frac{b}{k}$ C^(*)=b/k. Les solutions s'écrivent $C (t) = \frac{b}{k} + A e^{- k t}$ C(t)=b/k+Ae^(-kt). Avec $C (0) = 0$ C(0)=0 : $C (t) = \frac{b}{k} (1 - e^{- k t})$ C(t)=b/k(1-e^(-kt)). Comme $e^{- k t} \to 0$ e^(-kt)→0, l'excès tend vers l'équilibre $\frac{b}{k}$ b/k.
Après une durée $\frac{1}{k}$ 1/k, l'excès atteint $1 - e^{- 1} \approx 63 %$ 1-e⁻¹≈63 % de l'équilibre. Si l'air se renouvelle lentement ( $k$ k petit), l'équilibre $\frac{b}{k}$ b/k est élevé et met longtemps à s'établir, mais aussi à disparaître après la fermeture.
L'équilibre est proportionnel à $b$ b, donc au nombre de visiteurs : diviser les visiteurs par 2 divise l'excès par 2. Pour garder l'excès sous un seuil $S$ S, il faut $b \leq k S$ b≤ kS : le modèle fournit une jauge maximale. À Lascaux, plus d'un millier de visiteurs par jour, leur souffle, leur chaleur et l'éclairage ont provoqué des dépôts et le développement d'algues et de micro-organismes.
3. HGGSP : protéger en montrant autrement
3 min
André Malraux, ministre de la Culture, ferme la grotte en 1963. Pour permettre au public de découvrir les peintures, des répliques sont réalisées : Lascaux II en 1983, puis Lascaux IV en 2016, fidèle au millimètre près. La grotte originale, inscrite au patrimoine mondial de l'Unesco en 1979, n'est plus visitée que par quelques scientifiques.
Cet exemple pose une question centrale de la gestion du patrimoine : peut-on montrer sans détruire ? La grotte Chauvet, découverte en 1994, n'a jamais été ouverte au public ; une réplique l'a été en 2015. Les répliques et le numérique permettent de valoriser sans exposer l'original.
4. Conclusion
1,5 min
L'équation $C^{'} = b - k C$ C'=b-kC a pour solution $\frac{b}{k} (1 - e^{- k t})$ b/k(1-e^(-kt)) : l'excès de gaz carbonique tend vers un équilibre proportionnel au nombre de visiteurs. Ce modèle explique la fermeture de Lascaux et justifie les jauges. J'ouvre sur Lascaux IV et sur le rôle des répliques dans la valorisation du patrimoine.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C^{'} (t) = b - k C (t) C (0) = 0 \Rightarrow C (t) = \frac{b}{k} (1 - e^{- k t}) t \to + \infty \frac{b}{k} C'(t)=b-k C(t) C(0)=0\Rightarrow C(t)=b/k(1-e^(-kt)) \to b/k t = \frac{1}{k} : 1 - e^{- 1} \approx 63 % C^{*} \leq S ⟺ b \leq k S t=1/k: 1-e⁻¹\approx63 % C^(*)\leq S\Leftrightarrow b\leq kS

Conclusion : la réponse à la question

Une équation différentielle simple montre que l'effet des visiteurs sur une grotte tend vers un équilibre proportionnel à leur nombre. Elle éclaire le choix de fermer Lascaux et de montrer des répliques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que C(t) est solution.

$C^{'} (t) = b e^{- k t}$ C'(t)=be^(-kt) et $b - k C (t) = b - b (1 - e^{- k t}) = b e^{- k t}$ b-kC(t)=b-b(1-e^(-kt))=be^(-kt).

Que se passe-t-il après la fermeture ?

$b = 0$ b=0 : $C^{'} = - k C$ C'=-kC, l'excès décroît exponentiellement vers 0.

Pourquoi un faible renouvellement de l'air est-il dangereux ?

L'équilibre $\frac{b}{k}$ b/k devient très élevé quand $k$ k est petit.

Qui a fermé la grotte de Lascaux ?

André Malraux, ministre des Affaires culturelles, en 1963.

Qu'est-ce que Lascaux IV ?

Une réplique intégrale de la grotte, ouverte en 2016 à Montignac.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la condition initiale.
Croire que l'excès croît indéfiniment.
Réduire les dégradations au seul gaz carbonique.

Revoir les notions

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