Question transversaleMathsHGGSPS'informer : chiffres, sondages et rumeurs

Comment repérer des chiffres inventés grâce au premier chiffre des nombres ?

Q: Calculez la probabilité que le premier chiffre soit 1 ou 2.

$log₁₀2+log₁₀3/2=log₁₀3≈47,7 %$.

Q: Pourquoi la somme vaut-elle 1 ?

Le produit $2/1×3/2×…×10/9$ se simplifie en 10, et $log₁₀10=1$.

Dans beaucoup de données réelles (populations, montants, résultats électoraux par bureau), le premier chiffre est 1 dans environ 30,1 % des cas, et 9 dans seulement 4,6 %, selon la loi de Benford P(d) = log₁₀(1 + 1/d). Des chiffres inventés ont souvent des premiers chiffres trop équilibrés : un écart à la loi est un signal d'alerte, pas une preuve.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la fiabilité des sources et des données publiées par les États. J'ai découvert que des enquêteurs utilisent une étrange propriété des nombres pour détecter des comptes truqués ou des résultats électoraux suspects : dans les données réelles, les nombres commencent plus souvent par 1 que par 9. Cela m'a semblé impossible, et j'ai voulu le comprendre avec le logarithme.

L'enjeu et les notions du programme

Exprimer une loi de probabilité avec le logarithme décimal, l'expliquer par l'invariance d'échelle et discuter son usage pour détecter des fraudes.

Mathématiques

Logarithme décimal, propriétés algébriques (terminale)
Loi de probabilité sur un ensemble fini (première)
Comparaison de fréquences observées et théoriques (seconde)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

S'informer : un regard critique sur les sources (première, thème 4)
Démocratie : sincérité des élections (première, thème 1)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
On pourrait penser que le premier chiffre d'un nombre pris au hasard dans des données réelles vaut 1, 2, …, 9 avec la même probabilité, $\frac{1}{9} \approx 11 %$ 1/9≈11 %. Problématique : est-ce vrai, et comment s'en servir pour repérer des données inventées ?
2. Mathématiques : une loi logarithmique
4 min
La loi de Benford donne la probabilité que le premier chiffre soit $d$ d : $P (d) = lo g_{10} (1 + \frac{1}{d})$ P(d)=log₁₀(1+1/d). Pour $d = 1$ d=1 : $lo g_{10} 2 \approx 30, 1 %$ log₁₀2≈30,1 % ; $d = 2$ d=2 : 17,6 % ; $d = 3$ d=3 : 12,5 % ; … ; $d = 9$ d=9 : $lo g_{10} \frac{10}{9} \approx 4, 6 %$ log₁₀10/9≈4,6 %.
C'est bien une loi de probabilité : $\sum_{d = 1}^{9} lo g_{10} \frac{d + 1}{d} = lo g_{10} (\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \dots \times \frac{10}{9}) = lo g_{10} 10 = 1$ Σ_d=1⁹log₁₀(d+1)/d=log₁₀(2/1×3/2×…×10/9)=log₁₀10=1 (produit télescopique).
Explication : les données qui s'étalent sur plusieurs ordres de grandeur (de 100 à 1 000 000) se répartissent régulièrement sur une échelle logarithmique. Or, sur cette échelle, l'intervalle de 1 à 2 occupe $lo g_{10} 2 \approx 30 %$ log₁₀2≈30 % de chaque décade, celui de 9 à 10 seulement $lo g_{10} \frac{10}{9} \approx 4, 6 %$ log₁₀10/9≈4,6 %. La loi ne dépend pas de l'unité choisie : convertir des euros en dollars la conserve.
Un fraudeur qui invente des montants a tendance à choisir des premiers chiffres « au hasard », trop équilibrés : environ 11 % de 1, au lieu de 30 %. Cet écart se détecte sur quelques centaines de valeurs.
3. HGGSP : un outil d'enquête, pas une preuve
3 min
La loi de Benford est utilisée par des administrations fiscales et des auditeurs pour repérer des comptabilités suspectes. Elle a aussi été appliquée aux résultats électoraux par bureau de vote, par exemple lors de la présidentielle iranienne de 2009, pour signaler des anomalies.
Mais elle a des limites : elle ne s'applique pas aux données contraintes dans une petite plage (tailles humaines, notes sur 20), ni toujours aux résultats de bureaux de taille comparable. Un écart signale une anomalie à vérifier, pas une fraude démontrée. Utiliser un outil statistique pour accuser sans enquête serait lui-même de la désinformation.
4. Conclusion
1,5 min
Dans de nombreuses données réelles, le premier chiffre est 1 dans 30 % des cas, selon $P (d) = lo g_{10} (1 + \frac{1}{d})$ P(d)=log₁₀(1+1/d). Les chiffres inventés s'en écartent souvent, ce qui permet de repérer des anomalies, sans jamais suffire à prouver une fraude. J'ouvre sur les autres méthodes statistiques de contrôle de la sincérité des élections.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (d) = lo g_{10} (1 + \frac{1}{d}) : 30, 1; 17, 6; 12, 5; 9, 7; 7, 9; 6, 7; 5, 8; 5, 1; 4, 6 (%) P(d)=log₁₀ (1+1/d): 30,1; 17,6; 12,5; 9,7; 7,9; 6,7; 5,8; 5,1; 4,6 (%) d = 1 \sum 9 lo g_{10} \frac{d + 1}{d} = lo g_{10} \frac{10}{1} = 1 chiffres invent \overset{e}{ˊ} s \approx \frac{1}{9} \approx 11 % chacun Σ_d=1⁹log₁₀(d+1)/d=log₁₀10/1=1 chiffres inventés \approx1/9\approx11 % chacun

Conclusion : la réponse à la question

La loi de Benford, fondée sur le logarithme, révèle une régularité surprenante des données réelles. Elle fournit un signal d'alerte contre les chiffres inventés, à manier avec la prudence qu'exige toute accusation.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez la probabilité que le premier chiffre soit 1 ou 2.

$lo g_{10} 2 + lo g_{10} \frac{3}{2} = lo g_{10} 3 \approx 47, 7 %$ log₁₀2+log₁₀3/2=log₁₀3≈47,7 %.

Pourquoi la somme vaut-elle 1 ?

Le produit $\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \dots \times \frac{10}{9}$ 2/1×3/2×…×10/9 se simplifie en 10, et $lo g_{10} 10 = 1$ log₁₀10=1.

À quelles données la loi ne s'applique-t-elle pas ?

Aux données concentrées dans une petite plage, comme les tailles humaines ou des notes sur 20.

Pourquoi la loi ne dépend-elle pas de l'unité ?

Changer d'unité multiplie toutes les valeurs par une constante, ce qui décale l'échelle logarithmique sans changer la répartition.

Un écart à la loi prouve-t-il une fraude ?

Non : c'est un indice qui justifie une vérification approfondie.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que les premiers chiffres sont équiprobables.
Appliquer la loi à des données qui ne s'étalent pas sur plusieurs ordres de grandeur.
Présenter un écart comme une preuve.

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