Un sondage qui donne 51 % contre 49 % permet-il de savoir qui va gagner ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Avant une élection, les médias ont annoncé qu'un candidat « menait » avec 51 % contre 49 % dans un sondage. Le résultat final a été inverse, et beaucoup ont accusé les sondages de s'être trompés. En HGGSP, nous avons étudié la fabrique de l'opinion. J'ai voulu vérifier si le sondage s'était vraiment trompé, ou si on lui avait fait dire plus qu'il ne pouvait.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une marge de fluctuation pour une proportion et pour un écart, et en déduire ce qu'un sondage permet ou non de conclure.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un sondage interroge un échantillon, par exemple 1 000 personnes, pour estimer les intentions de vote de millions d'électeurs. Problématique : avec quelle précision, et un écart de 2 points entre deux candidats est-il significatif ?

2. 2. Mathématiques : marge d'une proportion et d'un écart

   4 min

   Pour un échantillon aléatoire de taille $n$n, une proportion observée fluctue autour de la vraie valeur ; au seuil de 95 %, la marge vaut environ $\frac{1}{\sqrt{n}}$1/( √n ). Pour $n=1000$n=1 000 : $\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0,032$1/(√(1 000))≈0,032, soit environ ± 3,2 points. Un candidat sondé à 51 % est en réalité entre environ 47,8 et 54,2 %.

   Mais la question porte sur l'écart $D=p_1-p_2$D=p₁-p₂. Avec deux candidats, $p_2=1-p_1$p₂=1-p₁, donc $D=2p_1-1$D=2p₁-1 : l'écart fluctue deux fois plus que chaque proportion. Sa marge vaut environ $\frac{2}{\sqrt{n}}\approx 6,3$2/( √n )≈6,3 points.

   Un écart observé de 2 points (51 contre 49) est donc compatible avec un écart réel allant d'environ −4 à +8 points : le sondage ne permet pas de désigner le vainqueur.

   Pour qu'un écart de 2 points devienne significatif, il faudrait $\frac{2}{\sqrt{n}}\le 0,02$2/( √n )≤0,02, soit $n\ge 10000$n≥10 000 personnes : dix fois plus, et sans compter les biais.

3. 3. HGGSP : sondages et vie démocratique

   3 min

   Les sondages ne sont pas des prédictions mais des photographies, avec une marge d'erreur, à un moment donné. Ils utilisent des quotas plutôt qu'un tirage aléatoire, ce qui rend la marge plus difficile à calculer, et ils doivent redresser les échantillons. Les intentions de vote évoluent aussi jusqu'au jour du scrutin.

   En France, la Commission des sondages contrôle leur publication, et la loi interdit d'en diffuser la veille et le jour du vote. L'effet des sondages sur les électeurs (vote utile, mobilisation) fait débat. Annoncer qu'un candidat « mène » à 51 contre 49 est une présentation trompeuse de l'incertitude.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Sur 1 000 personnes, l'écart entre deux candidats a une marge d'environ ± 6,3 points : un 51-49 ne désigne aucun vainqueur. Le sondage ne s'était pas trompé, c'est sa lecture qui était abusive. J'ouvre sur les biais d'échantillon, qu'aucune augmentation de taille ne corrige.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Appliquer la marge d'un pourcentage à l'écart.
• Présenter une intention de vote comme un résultat.
• Oublier que les quotas ne garantissent pas l'absence de biais.

Revoir les notions

• Échantillonnage et fluctuation (Seconde) →
• Échantillonnage (Première spé maths) →

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