Comment mesurer sa latitude en regardant le ciel, et pourquoi le mille marin vaut-il 1,852 km ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié les grandes explorations maritimes et les instruments qui les ont permises, comme l'astrolabe et le sextant. Je me suis demandé comment un simple angle mesuré dans le ciel pouvait donner une position sur Terre. J'ai découvert une démonstration de géométrie élégante, qui explique aussi l'origine d'une unité encore utilisée par tous les marins : le mille marin.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer l'égalité de deux angles par des propriétés de parallèles et d'angles complémentaires, et relier angle et longueur d'arc.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Les navigateurs portugais du XVᵉ siècle mesuraient la hauteur des astres pour connaître leur latitude. Problématique : pourquoi la hauteur d'une étoile donne-t-elle la latitude, et avec quelle précision ?

2. 2. Mathématiques : un angle dans le ciel, une position sur Terre

   4 min

   L'étoile Polaire est presque dans le prolongement de l'axe de rotation de la Terre, et si lointaine que ses rayons arrivent parallèles à cet axe. Un observateur à la latitude $\phi$φ a un horizon perpendiculaire à la verticale du lieu, qui fait l'angle $\phi$φ avec l'équateur.

   L'axe est perpendiculaire à l'équateur, l'horizon à la verticale : l'angle entre l'horizon et l'axe est donc égal à l'angle entre la verticale et l'équateur, $\phi$φ. La hauteur de la Polaire au-dessus de l'horizon vaut la latitude. À Paris, elle est à environ 48,9° ; au pôle Nord, au zénith ; à l'équateur, sur l'horizon.

   Le Soleil, à midi le jour de l'équinoxe, est à la verticale de l'équateur. Sa hauteur vaut $90°-\phi$90°-φ : à Paris, $90-48,9=41,1°$90-48,9=41,1°. Le reste de l'année, on corrige par la déclinaison du Soleil, donnée par des tables.

   Précision : un tour de méridien mesure environ 40 000 km pour 360°, soit $\frac{40000}{360}\approx 111$(40 000)/360≈111 km par degré, et $\frac{40000}{360\times 60}\approx 1,852$(40 000)/360×60≈1,852 km par minute d'arc. C'est la définition du mille marin. Une erreur d'un degré décale la position de 111 km ; un sextant précis à une minute près, d'un seul mille.

3. 3. HGGSP : la latitude oui, la longitude non

   3 min

   Grâce à la latitude, les Portugais ont pu descendre le long de l'Afrique : ils naviguaient jusqu'à la latitude voulue, puis suivaient ce parallèle vers l'est ou l'ouest. Les tables de déclinaison du Soleil, calculées par des astronomes comme Abraham Zacuto, étaient des savoirs stratégiques.

   La longitude, en revanche, ne se lit pas dans la hauteur des astres : elle exige de connaître l'heure exacte d'un lieu de référence. Il faudra attendre le XVIIIᵉ siècle et les chronomètres de marine. Ce décalage entre deux savoirs a façonné les routes maritimes et les erreurs de cartographie pendant trois siècles.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Par des propriétés d'angles, la hauteur de la Polaire est égale à la latitude, et celle du Soleil à midi d'équinoxe à $90°-\phi$90°-φ. Une minute d'arc de méridien mesure 1,852 km : le mille marin relie directement angle et distance. J'ouvre sur la mesure de la longitude, problème résolu bien plus tard.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier que la Polaire n'est visible que dans l'hémisphère Nord.
• Confondre hauteur et distance zénithale.
• Oublier la correction de déclinaison hors équinoxe.

Revoir les notions

• Trigonométrie (Première spé maths) →
• Trigonométrie (triangle rectangle) (Seconde) →

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