Question transversaleMathsHGGSPOcéans et espace

Comment les navigateurs des grandes découvertes savaient-ils où ils étaient sans GPS ?

Q: Que valent cos 225° et sin 225° ?

Tous deux $-sqrt2/2≈-0,707$.

Q: Pourquoi sin 2° ≈ 0,035 ?

$2°=2π/180≈0,035$ rad, et $sinα≈α$ pour un petit angle.

À l'estime, le navigateur additionne les déplacements : chacun est un vecteur défini par un cap et une distance. Après 60 km au nord, 80 km à l'est et 40 km au sud-ouest, le navire est à environ 60,7 km du départ, au cap 58°. Une erreur de cap de 2° sur 100 km décale la position de 3,5 km : les erreurs s'accumulent jusqu'à un nouveau repère.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié les océans comme espaces de circulation, et je me suis demandé comment Christophe Colomb ou Magellan pouvaient traverser des océans inconnus sans instrument de positionnement. J'ai découvert la navigation à l'estime : connaissant son cap, sa vitesse et le temps écoulé, on reporte sa route sur la carte. C'est exactement une somme de vecteurs.

L'enjeu et les notions du programme

Additionner des vecteurs donnés par une direction et une longueur grâce à leurs coordonnées, et estimer l'effet d'une erreur d'angle.

Mathématiques

Vecteurs, somme et coordonnées (seconde)
Cosinus et sinus d'un angle, coordonnées polaires (première)
Approximation sin x ≈ x pour les petits angles (terminale)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

De nouveaux espaces de conquête : les océans, explorations et routes maritimes (terminale, thème 1)
L'enjeu de la connaissance : instruments et savoirs (terminale, thème 6)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
En haute mer, aucun repère n'est visible. Les navigateurs notaient leur cap (avec la boussole), leur vitesse (avec le loch) et le temps (avec le sablier). Problématique : comment en déduire leur position, et avec quelle précision ?
2. Mathématiques : une somme de vecteurs
4 min
On place l'est sur l'axe des abscisses et le nord sur l'axe des ordonnées. Un trajet de longueur $L$ L au cap $θ$ θ (mesuré depuis le nord, dans le sens des aiguilles d'une montre) est le vecteur $(L sin θ; L cos θ)$ (Lsinθ ; Lcosθ).
Trajets : 60 km au nord $(0; 60)$ (0;60), puis 80 km à l'est $(80; 0)$ (80;0), puis 40 km au sud-ouest (cap 225°) : $(40 sin 225°; 40 cos 225°) \approx (- 28, 3; - 28, 3)$ (40sin225°;40cos225°)≈(-28,3;-28,3). Somme : $(51, 7; 31, 7)$ (51,7;31,7). Distance au départ : $51, 7^{2} + 31, 7^{2} \approx 60, 7$ √(51,7²+31,7²)≈60,7 km. Cap : $θ$ θ tel que $tan θ = \frac{51 , 7}{31 , 7}$ tanθ=51,7/31,7, soit environ 58°.
Erreurs : une erreur de cap de 2° sur 100 km décale la position d'environ $100 \times sin 2° \approx 3, 5$ 100×sin2°≈3,5 km ; pour un petit angle en radians, $sin α \approx α$ sinα≈α, et $2° \approx 0, 035$ 2°≈0,035 rad. Une erreur de vitesse de 5 % donne 5 km d'erreur sur 100 km. Ces erreurs s'accumulent jour après jour : après plusieurs semaines, l'incertitude atteint des centaines de kilomètres, jusqu'à ce qu'une terre ou une mesure astronomique permette de corriger.
3. HGGSP : savoir naviguer, une puissance
3 min
La navigation à l'estime, combinée à la mesure de la latitude par les astres, a permis les voyages portugais et espagnols du XVᵉ et du XVIᵉ siècle. Les erreurs ont pesé lourd : Colomb a sous-estimé la taille de la Terre et cru atteindre l'Asie, et de nombreux navires ont fait naufrage faute de connaître leur position.
Les puissances maritimes ont investi dans ces savoirs : écoles de navigation, cartes tenues secrètes (le Padrão Real portugais), concours pour mesurer la longitude. La maîtrise de la position en mer a été une condition de la domination des océans, comme aujourd'hui la maîtrise des systèmes satellitaires.
4. Conclusion
1,5 min
Naviguer à l'estime, c'est additionner des vecteurs : trois trajets mènent ici à 60,7 km du départ, au cap 58°. Mais chaque erreur de 2° sur 100 km coûte 3,5 km, et les erreurs s'additionnent. J'ouvre sur la mesure de la latitude par les astres, qui permettait de corriger la position.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u = (L sin θ; L cos θ) (0; 60) + (80; 0) + (- 28, 3; - 28, 3) = (51, 7; 31, 7) vecteur u =(Lsinθ ; Lcosθ) (0;60)+(80;0)+(-28,3;-28,3)=(51,7;31,7) 51, 7^{2} + 31, 7^{2} \approx 60, 7 km tan θ = \frac{51 , 7}{31 , 7} \Rightarrow θ \approx 58° 100 sin 2° \approx 3, 5 km \sqrt(51,7²+31,7²)\approx60,7 km tanθ=51,7/31,7\Rightarrowθ\approx58° 100sin2°\approx3,5 km

Conclusion : la réponse à la question

La navigation à l'estime est une somme de vecteurs, dont les erreurs s'accumulent. Ces calculs ont permis les grandes découvertes et montrent que la connaissance de la position a toujours été un enjeu de puissance.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le vecteur s'écrit-il (L sin θ ; L cos θ) ?

Le cap est mesuré depuis le nord (axe des ordonnées) : le cosinus donne la composante nord, le sinus la composante est.

Que valent cos 225° et sin 225° ?

Tous deux $- \frac{2}{2} \approx - 0, 707$ -sqrt2/2≈-0,707.

Pourquoi sin 2° ≈ 0,035 ?

$2° = \frac{2 π}{180} \approx 0, 035$ 2°=2π/180≈0,035 rad, et $sin α \approx α$ sinα≈α pour un petit angle.

Qu'est-ce qu'un loch ?

Un instrument qui mesure la vitesse du navire, à l'origine une planche attachée à une corde à nœuds.

Pourquoi les cartes étaient-elles secrètes ?

Elles donnaient un avantage commercial et militaire sur les routes maritimes.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre l'orientation des caps (depuis le nord) et celle des angles en maths (depuis l'est).
Additionner les distances au lieu des vecteurs.
Oublier que les erreurs s'accumulent au fil du voyage.

Revoir les notions

Autres questions : océans et espace

Toutes les questions maths-hggsp →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-anglais →