Vecteurs du plan en Seconde

Les vecteurs du plan en seconde : cours complet

Les vecteurs sont un outil fondamental de la géométrie en seconde. Ils décrivent des déplacements (direction, sens, longueur), et leurs opérations (addition, multiplication par un scalaire) permettent de simplifier de nombreuses démonstrations.

Définition d'un vecteur

Vecteur défini par deux points

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$vecteur AB est défini par :

• une direction (celle de la droite $(AB)$(AB)) ;
• un sens (de $A$A vers $B$B) ;
• une longueur $AB$AB, appelée norme du vecteur.

Notation

$$\overrightarrow{AB}\text{ou}\vec{u}$$vecteur AB ou vecteur u

Vecteur nul

Le vecteur nul $\vec{0}$vecteur 0 a une norme de $0$0 et n'a pas de direction définie.

$$\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\vec{0}$$vecteur AA = vecteur BB = vecteur 0

Égalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{CD}$vecteur CD sont égaux si et seulement si :

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}⟺ABDC\text{ est un paralleˊlogramme}$$vecteur AB = vecteur CD ⇔ ABDC est un parallélogramme

En clair

Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

Propriété équivalente

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}⟺[AD]\text{ et }[BC]\text{ ont le meˆme milieu}$$vecteur AB = vecteur CD ⇔ [AD] et [BC] ont le même milieu

La translation

Une translation de vecteur $\vec{u}$vecteur u est la transformation qui à tout point $M$M associe le point $M^{\prime }$M' tel que :

$$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\vec{u}$$vecteur MM' = vecteur u

Propriétés

• Conserve les longueurs, angles, aires, parallélisme.

Addition de vecteurs

Relation de Chasles

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC

C'est la règle fondamentale : « relier deux vecteurs bout-à-bout ».

Règle du parallélogramme

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\text{si }ABDC\text{ est un paralleˊlogramme}$$vecteur AB + vecteur AC = vecteur AD si ABDC est un parallélogramme

Propriétés

• Commutative : $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$vecteur u + vecteur v = vecteur v + vecteur u.
• Associative : $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$( vecteur u + vecteur v ) + vecteur w = vecteur u + ( vecteur v + vecteur w ).
• Élément neutre : $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$vecteur u + vecteur 0 = vecteur u.
• Opposé : $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$vecteur u + (- vecteur u ) = vecteur 0, où $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$- vecteur AB = vecteur BA.

Multiplication par un réel

Définition

Soit $k$k un réel et $\vec{u}$vecteur u un vecteur. $k\vec{u}$k vecteur u est un vecteur :

• de même direction que $\vec{u}$vecteur u ;
• de même sens si $k>0$k > 0, de sens opposé si $k<0$k < 0 ;
• de norme $|k|\times \Vert \vec{u}\Vert$|k| × ‖ vecteur u ‖.

Cas particuliers

• $1\vec{u}=\vec{u}$1 vecteur u = vecteur u.
• $0\vec{u}=\vec{0}$0 vecteur u = vecteur 0.
• $-1\vec{u}=-\vec{u}$-1 vecteur u = - vecteur u.

Propriétés

$$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$$k( vecteur u + vecteur v ) = k vecteur u + k vecteur v $$(k+k^{\prime })\vec{u}=k\vec{u}+k^{\prime }\vec{u}$$(k + k') vecteur u = k vecteur u + k' vecteur u $$k(k^{\prime }\vec{u})=(k{k}^{\prime })\vec{u}$$k(k' vecteur u ) = (k k') vecteur u

Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v (avec $\vec{u}\ne \vec{0}$vecteur u ≠ vecteur 0) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$k tel que :

$$\vec{v}=k\vec{u}$$vecteur v = k vecteur u

Conséquences géométriques

$$\overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{CD}\text{ colineˊaires}⟺(AB)\parallel (CD)\text{ ou }A,B,C,D\text{ aligneˊs}$$vecteur AB et vecteur CD colinéaires ⇔ (AB) parallel (CD) ou A, B, C, D alignés

$$\overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ colineˊaires}⟺A,B,C\text{ aligneˊs}$$vecteur AB et vecteur AC colinéaires ⇔ A, B, C alignés

Coordonnées dans un repère

Repère du plan

Un repère est un point $O$O (origine) avec deux vecteurs non colinéaires $\vec{i}$vecteur i et $\vec{j}$vecteur j.

Coordonnées d'un point

Un point $M$M a des coordonnées $(x;y)$(x ; y) telles que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$vecteur OM = x vecteur i + y vecteur j.

Coordonnées d'un vecteur

Si $A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) et $B(x_B;y_B)$B(x_B ; y_B) :

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$$vecteur AB = (x_B - x_A ; y_B - y_A)

Opérations sur les coordonnées

Soit $\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ; y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ; y') :

• $\vec{u}+\vec{v}=(x+x^{\prime };y+y^{\prime })$vecteur u + vecteur v = (x + x' ; y + y').
• $k\vec{u}=(kx;ky)$k vecteur u = (kx ; ky).

Vecteurs colinéaires en coordonnées

$\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ; y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si :

$$x{y}^{\prime }-x^{\prime }y=0$$xy' - x'y = 0

(c'est le déterminant des deux vecteurs).

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{BA}$vecteur BA : ce sont des vecteurs opposés.
• Mal lire les coordonnées : $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$vecteur AB = (x_B - x_A ; y_B - y_A), fin moins début.
• Oublier la relation de Chasles : c'est l'outil pour additionner.
• Confondre vecteur et point : un vecteur n'a pas de position, seulement direction/sens/longueur.

FAQ — Les vecteurs du plan

Quelle est la différence entre un vecteur et un point ?

Un point a une position. Un vecteur représente un déplacement (sans position).

Pourquoi la relation de Chasles est-elle si importante ?

C'est l'outil pour manipuler les vecteurs : décomposer un déplacement, démontrer des alignements, calculer dans les triangles…

Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ?

En coordonnées : on vérifie que $x{y}^{\prime }-x^{\prime }y=0$xy' - x'y = 0.

À quoi servent les vecteurs ?

À la géométrie (démonstrations, calculs), à la physique (forces, vitesses, accélérations), à l'informatique (graphisme 3D, intelligence artificielle).