Question transversaleMathsHGGSPDémocratie et élections

Combien de partis comptent vraiment dans une assemblée ? Le nombre effectif de partis

Q: Vérifiez que N = n pour n partis égaux.

$Σ pᵢ²=n×1/n²=1/n$, donc $N=n$.

Q: Que vaut N pour trois partis à 50 %, 25 % et 25 % ?

$1/(0,25+0,0625+0,0625)=1/0,375≈2,67$.

Le nombre effectif de partis vaut 1 / Σ pᵢ², où pᵢ est la part des sièges de chaque parti. Deux partis égaux donnent 2 ; un parti à 90 % et un à 10 %, seulement 1,22 ; cinq partis à 30, 25, 20, 15 et 10 % donnent 4,44. Cet indice mesure la fragmentation d'un système politique.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En comparant en HGGSP les systèmes politiques de plusieurs pays, je me suis demandé comment comparer un pays où deux grands partis dominent avec un pays où une dizaine de partis se partagent l'assemblée. Compter les partis ne suffit pas, car certains n'ont qu'un ou deux élus. J'ai découvert un indice, inventé par deux politologues en 1979, qui utilise la somme des carrés des parts.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un indicateur à partir de la somme des carrés des proportions, étudier ses valeurs extrêmes et l'interpréter politiquement.

Mathématiques

Proportions, somme des carrés (seconde)
Inégalité : la somme des carrés est minimale pour des parts égales (première)
Probabilités : deux élus tirés au hasard (première)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Démocratie : systèmes de partis, modes de scrutin (première, thème 1)
Avancées et reculs des démocraties (première, thème 1, axe 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une assemblée peut compter dix partis, dont deux détiennent 90 % des sièges. Problématique : comment mesurer le nombre de partis qui « comptent vraiment », pour comparer des pays ?
2. Mathématiques : l'inverse d'une somme de carrés
4 min
Si le parti $i$ i détient une part $p_{i}$ pᵢ des sièges (avec $\sum p_{i} = 1$ Σ pᵢ=1), le nombre effectif de partis est $N = \frac{1}{\sum p _{i}^{2}}$ N=1/(Σ pᵢ²) (indice de Laakso et Taagepera).
Exemples : deux partis égaux : $\frac{1}{0 , 25 + 0 , 25} = 2$ 1/(0,25+0,25)=2. Un parti à 90 % et un à 10 % : $\frac{1}{0 , 81 + 0 , 01} \approx 1, 22$ 1/(0,81+0,01)≈1,22, presque un seul parti. Cinq partis à 30, 25, 20, 15 et 10 % : $\frac{1}{0 , 09 + 0 , 0625 + 0 , 04 + 0 , 0225 + 0 , 01} \approx 4, 44$ 1/(0,09+0,0625+0,04+0,0225+0,01)≈4,44.
Propriétés : si $n$ n partis ont des parts égales $\frac{1}{n}$ 1/n, $N = \frac{1}{n \times \frac{1}{n ^{2}}} = n$ N=1/(n×1/n²)=n. Pour un nombre de partis donné, $N$ N est maximal quand les parts sont égales et diminue quand un parti domine : la somme des carrés est minimale pour des parts égales.
Interprétation probabiliste : $\sum p_{i}^{2}$ Σ pᵢ² est la probabilité que deux élus tirés au hasard (avec remise) appartiennent au même parti. Plus elle est faible, plus l'assemblée est fragmentée.
3. HGGSP : modes de scrutin et systèmes de partis
3 min
Le politologue Maurice Duverger a observé que le scrutin majoritaire à un tour tend à produire deux grands partis (nombre effectif proche de 2, comme au Royaume-Uni ou aux États-Unis), alors que la proportionnelle favorise le multipartisme (nombre effectif de 4 à 7, comme aux Pays-Bas ou en Belgique).
Un nombre effectif élevé reflète une plus grande diversité d'opinions représentées, mais rend nécessaires des coalitions pour gouverner, parfois longues à négocier. L'indice permet de comparer objectivement ces situations et d'étudier l'effet d'une réforme électorale.
4. Conclusion
1,5 min
Le nombre effectif de partis, $\frac{1}{\sum p _{i}^{2}}$ 1/(Σ pᵢ²), compte les partis en tenant compte de leur poids : 2 pour deux partis égaux, 1,22 si l'un domine à 90 %, 4,44 dans un système fragmenté. Une somme de carrés mesure la fragmentation politique. J'ouvre sur l'indice de Simpson en écologie, qui utilise exactement la même formule pour mesurer la diversité des espèces.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N = \frac{1}{\sum p _{i}^{2}} (0, 5; 0, 5) : 2 (0, 9; 0, 1) : \frac{1}{0 , 82} \approx 1, 22 N=1/(Σ pᵢ²) (0,5;0,5): 2 (0,9;0,1): 1/0,82\approx1,22 (0, 3; 0, 25; 0, 2; 0, 15; 0, 1) : \frac{1}{0 , 225} \approx 4, 44 parts \overset{e}{ˊ} gales \frac{1}{n} : N = n (0,3;0,25;0,2;0,15;0,1): 1/0,225\approx4,44 parts égales 1/n: N=n

Conclusion : la réponse à la question

Compter les partis ne suffit pas : il faut les pondérer par leur poids. L'inverse de la somme des carrés des parts fournit un indicateur simple, qui relie mode de scrutin et paysage politique.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que N = n pour n partis égaux.

$\sum p_{i}^{2} = n \times \frac{1}{n ^{2}} = \frac{1}{n}$ Σ pᵢ²=n×1/n²=1/n, donc $N = n$ N=n.

Que vaut N pour trois partis à 50 %, 25 % et 25 % ?

$\frac{1}{0 , 25 + 0 , 0625 + 0 , 0625} = \frac{1}{0 , 375} \approx 2, 67$ 1/(0,25+0,0625+0,0625)=1/0,375≈2,67.

Que dit la loi de Duverger ?

Le scrutin majoritaire à un tour tend au bipartisme, la proportionnelle au multipartisme.

Pourquoi utiliser les carrés ?

Les carrés donnent plus de poids aux grands partis : les petits partis comptent peu.

Quel lien avec les probabilités ?

La somme des carrés est la probabilité que deux élus pris au hasard soient du même parti.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que les parts doivent avoir pour somme 1.
Confondre nombre réel de partis et nombre effectif.
Croire qu'un nombre effectif élevé est toujours souhaitable.

Revoir les notions

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