La volonté de la majorité existe-t-elle toujours ? Le paradoxe de Condorcet

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la démocratie et l'idée de « volonté générale ». En lisant sur Condorcet, mathématicien et révolutionnaire, j'ai découvert qu'il avait montré dès 1785 qu'une majorité peut se contredire elle-même. Cela m'a semblé vertigineux : si la majorité n'a pas toujours de préférence cohérente, que signifie « la volonté du peuple » ? J'ai voulu le démontrer et en mesurer la fréquence.

L'enjeu et les notions du programme

Montrer, par un exemple et un dénombrement, qu'une relation « est préféré par une majorité à » peut ne pas être transitive, et en tirer une réflexion sur la démocratie.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   En démocratie, on tranche entre deux options par un vote à la majorité. Avec trois options, on peut les comparer deux à deux. Problématique : la majorité dégage-t-elle toujours un ordre cohérent, et que révèle le paradoxe découvert par Condorcet ?

2. 2. Mathématiques : une majorité qui tourne en rond

   4 min

   Trois électeurs, trois candidats. Électeur 1 : A > B > C ; électeur 2 : B > C > A ; électeur 3 : C > A > B. Duel A contre B : électeurs 1 et 3 préfèrent A, qui gagne 2 contre 1. Duel B contre C : électeurs 1 et 2, B gagne. Duel C contre A : électeurs 2 et 3, C gagne.

   La préférence collective est donc A > B > C > A : elle n'est pas transitive, alors que celle de chaque électeur l'est. Aucun candidat ne bat tous les autres : il n'y a pas de « vainqueur de Condorcet ».

   Fréquence : chaque électeur a $3!=6$3!=6 classements possibles, soit $6^3=216$6³=216 profils pour trois électeurs. En les examinant tous, 12 donnent un cycle : probabilité $\frac{12}{216}=\frac{1}{18}\approx 5,6\%$12/216=1/18≈5,6 % si les classements sont tirés au hasard. Pour un très grand nombre d'électeurs, cette probabilité tend vers environ 8,8 % (résultat de Guilbaud, 1952), et elle augmente avec le nombre de candidats.

3. 3. HGGSP : ce que le paradoxe dit de la démocratie

   3 min

   Condorcet, député pendant la Révolution, cherchait une règle de vote rationnelle pour la République. Son paradoxe montre que la « volonté de la majorité » n'est pas toujours un objet bien défini : le résultat peut dépendre de l'ordre dans lequel on fait voter les options. Celui qui fixe l'ordre du jour d'une assemblée a donc un pouvoir réel.

   Au XXᵉ siècle, Kenneth Arrow a généralisé ce constat : aucun mode de scrutin ne satisfait à la fois un petit nombre d'exigences démocratiques raisonnables. Cela ne condamne pas la démocratie, mais invite à débattre du choix des règles, qui ne sont jamais neutres.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec trois électeurs, une majorité peut préférer A à B, B à C et C à A : la préférence collective n'est pas transitive. Le dénombrement montre que ce paradoxe n'est pas rare (5,6 % des profils au hasard). La règle de vote fait partie du résultat. J'ouvre sur les modes de scrutin réels, comme le scrutin à deux tours, et leurs propres paradoxes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'un électeur est incohérent : chaque électeur a un classement transitif.
• Confondre la probabilité pour 3 électeurs (5,6 %) et la limite pour un grand nombre (8,8 %).
• Conclure que la démocratie est impossible.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →
• Probabilités (introduction) (Seconde) →

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