Question transversaleMathsHGGSPDémocratie et élections

Un parti qui n'a que 2 % des sièges peut-il avoir autant de pouvoir qu'un parti qui en a 49 % ?

Q: Combien de coalitions possibles avec 6 pays ?

$2⁶=64$ parties de l'ensemble des 6 pays.

Dans une assemblée de 100 sièges répartis 49, 49 et 2, avec une majorité à 51, toute coalition de deux partis gagne : chacun est indispensable dans deux coalitions. L'indice de Banzhaf donne un tiers du pouvoir à chacun, même au parti de 2 sièges. À l'inverse, en 1958, le Luxembourg avait une voix au Conseil européen mais un pouvoir nul.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En suivant les négociations pour former un gouvernement après des élections serrées, j'ai remarqué qu'un petit parti semblait faire la loi. En HGGSP, nous avons étudié la puissance et les institutions européennes. J'ai découvert qu'on peut mesurer le pouvoir réel d'un parti ou d'un pays par un dénombrement de coalitions, et que ce pouvoir n'est pas proportionnel au nombre de voix.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer les coalitions gagnantes et les situations où un acteur est décisif, pour mesurer un pouvoir de vote.

Mathématiques

Dénombrement : parties d'un ensemble, combinaisons (terminale)
Proportions, fréquences (seconde)
Raisonnement par disjonction de cas (seconde)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Démocratie : coalitions et majorités parlementaires (première, thème 1)
L'Union européenne et la démocratie (première, thème 1, objet de travail conclusif)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Dans une assemblée, une décision passe si une coalition réunit la majorité. Problématique : le pouvoir d'un parti est-il proportionnel à son nombre de sièges, ou dépend-il de sa capacité à faire basculer un vote ?
2. Mathématiques : compter les situations décisives
4,5 min
Assemblée de 100 sièges : A 49, B 49, C 2, majorité à 51. Coalitions gagnantes : A + B (98), A + C (51), B + C (51), A + B + C (100). Un parti est « décisif » dans une coalition gagnante si son départ la rend perdante.
A est décisif dans A + B et A + C ; B dans A + B et B + C ; C dans A + C et B + C. Dans A + B + C, personne n'est décisif (chaque retrait laisse au moins 51). Chaque parti est décisif 2 fois sur 6 cas : l'indice de Banzhaf attribue à chacun $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 2/6=1/3 du pouvoir. Le parti de 2 sièges a autant de pouvoir que les deux grands.
Conseil des Communautés européennes en 1958 : France, Allemagne, Italie 4 voix chacune ; Belgique, Pays-Bas 2 ; Luxembourg 1 ; majorité qualifiée à 12 voix sur 17. En examinant les $2^{6} = 64$ 2⁶=64 coalitions, on constate que le Luxembourg n'est jamais décisif : ses partenaires obtiennent toujours un total pair, donc soit 12 et plus sans lui, soit au plus 10, et sa voix ne fait jamais passer de 11 à 12. Son pouvoir est nul, alors qu'il détient 6 % des voix.
3. HGGSP : puissance et institutions
2,5 min
Ces calculs éclairent les négociations : un petit parti « pivot » peut obtenir des postes ou des mesures disproportionnés par rapport à son poids électoral. Ils ont été utilisés lors des élargissements de l'Union européenne pour discuter de la pondération des voix.
Depuis le traité de Lisbonne (appliqué depuis 2014), la majorité qualifiée exige 55 % des États représentant 65 % de la population, une double majorité qui vise à concilier égalité des États et poids démographique. La mesure mathématique du pouvoir alimente ainsi les débats sur la souveraineté et l'équité entre États.
4. Conclusion
1,5 min
Le pouvoir d'un parti dépend du nombre de fois où il est décisif, pas de son nombre de sièges : avec 49-49-2, chacun a un tiers du pouvoir ; en 1958, le Luxembourg avait une voix mais aucun pouvoir. Un dénombrement de coalitions révèle ces paradoxes. J'ouvre sur la double majorité actuelle du Conseil de l'Union européenne.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

49, 49, 2 (majorit \overset{e}{ˊ} 51) : gagnantes : A B, A C, B C, A B C 49, 49, 2 ( majorité 51): gagnantes : AB, AC, BC, ABC d \overset{e}{ˊ} cisif : A 2, B 2, C 2 \Rightarrow Banzhaf = \frac{1}{3} chacun 1958 : (4, 4, 4, 2, 2, 1), q = 12 \Rightarrow Luxembourg : 0 décisif : A 2, B 2, C 2\Rightarrow Banzhaf =1/3 chacun 1958: (4,4,4,2,2,1), q=12\Rightarrow Luxembourg : 0

Conclusion : la réponse à la question

Le pouvoir de vote se mesure en comptant les situations où l'on fait basculer une décision. Ce dénombrement montre que sièges et pouvoir ne sont pas proportionnels, ce qui éclaire coalitions et traités européens.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi A + B + C ne compte-t-il pour personne ?

Le retrait de n'importe quel parti laisse au moins 51 sièges : aucun n'y est décisif.

Combien de coalitions possibles avec 6 pays ?

$2^{6} = 64$ 2⁶=64 parties de l'ensemble des 6 pays.

Pourquoi le Luxembourg n'était-il jamais décisif ?

Les cinq autres pays ont des voix paires : leur total est pair, donc jamais égal à 11, seul cas où une voix de plus ferait atteindre 12.

Qu'est-ce que la double majorité ?

Une décision exige 55 % des États représentant au moins 65 % de la population de l'Union.

Un parti pivot a-t-il intérêt à rester petit ?

Pas nécessairement, mais sa position décisive lui donne un pouvoir de négociation supérieur à son poids.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre part des sièges et part du pouvoir.
Oublier des coalitions dans le dénombrement.
Compter un parti comme décisif dans une coalition qui gagne sans lui.

Revoir les notions

Autres questions : démocratie et élections

Toutes les questions maths-hggsp →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-anglais →