Question transversaleMathsHGGSPFrontières et territoires

Comment partager un territoire disputé de façon que chaque partie soit satisfaite ?

Avec la règle « l'un coupe, l'autre choisit », celui qui coupe fait deux parts qu'il juge égales, et celui qui choisit prend celle qu'il préfère : chacun est sûr d'obtenir au moins la moitié selon sa propre évaluation, même s'ils ne valorisent pas les mêmes zones. Le traité de Tordesillas de 1494 a partagé le monde entre Espagne et Portugal par une simple ligne, sans cette garantie.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié des partages territoriaux, comme le traité de Tordesillas en 1494 ou les partitions du XXᵉ siècle, souvent source de conflits durables. Je me suis demandé s'il existait des méthodes de partage qui garantissent l'équité, même quand les deux parties ne valorisent pas les mêmes choses. J'ai découvert que les mathématiciens ont étudié ce problème, à partir d'une règle très simple.

L'enjeu et les notions du programme

Raisonner sur des évaluations différentes pour démontrer qu'une procédure garantit à chacun une part équitable selon son propre point de vue.

Mathématiques

Raisonnement logique et démonstration (seconde)
Fonctions additives, proportions (seconde)
Inégalités (seconde)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Étudier les divisions politiques du monde : tracer des frontières (première, thème 3)
Faire la guerre, faire la paix : négociations et traités (terminale, thème 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Deux parties revendiquent un même territoire, mais n'en valorisent pas les mêmes zones : l'une tient aux terres agricoles, l'autre à un port ou à un lieu sacré. Problématique : existe-t-il une méthode de partage qui garantisse à chacune une part jugée équitable par elle-même ?
2. Mathématiques : « l'un coupe, l'autre choisit »
4 min
Chaque partie a sa propre évaluation du territoire : une fonction qui attribue à chaque zone une valeur, avec une valeur totale de 1 pour chacun. Les évaluations peuvent être très différentes.
Procédure : la partie A partage le territoire en deux parts qu'elle juge de même valeur, $\frac{1}{2}$ 1/2 chacune selon elle. La partie B choisit la part qu'elle préfère ; A reçoit l'autre.
Garantie pour A : quelle que soit la part laissée, elle vaut $\frac{1}{2}$ 1/2 selon l'évaluation de A. Garantie pour B : les deux parts valent au total 1 selon B, donc l'une au moins vaut $\frac{1}{2}$ 1/2 ou plus ; B la choisit. Chacun obtient au moins la moitié selon sa propre évaluation : le partage est « proportionnel ».
De plus, aucune partie n'envie l'autre : A juge les deux parts égales, et B a choisi celle qu'il préférait. Quand les évaluations diffèrent, chacun peut même obtenir plus de la moitié selon son propre critère, car B prend la part qu'il valorise le plus.
Pour trois parties ou plus, des procédures plus complexes existent (le « dernier diminueur » de Banach et Knaster) et garantissent au moins $\frac{1}{n}$ 1/n à chacun.
3. HGGSP : des partages sans équité
3 min
En 1494, le traité de Tordesillas partage les terres à découvrir entre l'Espagne et le Portugal par un méridien situé 370 lieues à l'ouest du Cap-Vert, sous l'arbitrage du pape. Aucun des deux ne savait ce que contenait chaque côté, et les peuples concernés n'avaient évidemment pas leur mot à dire.
Les partitions du XXᵉ siècle (Inde et Pakistan en 1947, plan de partage de la Palestine en 1947) ont été décidées par des acteurs extérieurs ou dans l'urgence, avec des conséquences dramatiques. Les procédures mathématiques de partage équitable ne règlent pas les conflits, qui portent aussi sur l'histoire et l'identité, mais elles montrent qu'une méthode transparente, acceptée par les parties, est une condition de la paix.
4. Conclusion
1,5 min
« L'un coupe, l'autre choisit » garantit à chaque partie au moins la moitié selon sa propre évaluation, et l'absence d'envie, même quand elles ne valorisent pas les mêmes zones. Un raisonnement logique simple fonde l'équité d'une procédure. J'ouvre sur les procédures pour plus de deux parties et sur leur usage dans les négociations internationales.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

v_{A} (part_{1}) = v_{A} (part_{2}) = \frac{1}{2} v_{B} (part_{1}) + v_{B} (part_{2}) = 1 \Rightarrow max \geq \frac{1}{2} v_A( part ₁)=v_A( part ₂)=1/2 v_B( part ₁)+v_B( part ₂)=1\Rightarrowmax\geq1/2 A obtient \frac{1}{2} selon A B obtient \geq \frac{1}{2} selon B n parties : au moins \frac{1}{n} A obtient 1/2 selon A B obtient \geq1/2 selon B n parties : au moins 1/n

Conclusion : la réponse à la question

Une procédure peut garantir l'équité sans que les parties s'accordent sur la valeur de chaque zone. Les mathématiques du partage équitable éclairent, par contraste, les partages imposés de l'histoire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi B obtient-il au moins la moitié ?

Les deux parts valent 1 au total selon B : l'une au moins vaut 1/2, et B la choisit.

A peut-il obtenir plus de la moitié selon son évaluation ?

Non : il a coupé en deux parts qu'il juge égales, il obtient exactement 1/2 selon lui.

Qu'est-ce qu'un partage sans envie ?

Un partage où chacun préfère sa propre part à celle de l'autre, selon sa propre évaluation.

Qu'a décidé le traité de Tordesillas ?

Un partage des terres à découvrir entre l'Espagne et le Portugal par un méridien à 370 lieues à l'ouest du Cap-Vert.

Pourquoi ces méthodes ne règlent-elles pas tous les conflits ?

Les conflits portent aussi sur l'histoire, l'identité et des biens indivisibles, comme un lieu sacré.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que les deux parties doivent avoir la même évaluation.
Confondre partage égal en surface et partage équitable selon chaque partie.
Présenter la méthode comme une solution miracle aux conflits.

Revoir les notions

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