Fonctions : généralités en Seconde

Fonctions : généralités en seconde : cours complet

En seconde, tu approfondis la notion de fonction vue en troisième : ensemble de définition, image, antécédent, variations, extremums, lecture graphique. C'est un chapitre central qui structure tout le programme d'analyse au lycée.

Définition d'une fonction

Définition

Une fonction $f$f définie sur une partie $D$D de $\mathbb{R}$ℝ associe à tout $x$x de $D$D un unique nombre, noté $f(x)$f(x).

Vocabulaire

• $D$D est l'ensemble de définition (ou domaine).
• $x$x est l'antécédent.
• $f(x)$f(x) est l'image de $x$x.

Notation

$$f:D\to \mathbb{R},x\mapsto f(x)$$f : D → ℝ, x ↦ f(x)

Ensemble de définition

Cas usuels

• Polynômes ($f(x)=2x+3$f(x) = 2x + 3, $f(x)=x^2-5$f(x) = x² - 5) : définis sur $\mathbb{R}$ℝ.
• Inverse : $f(x)=\frac{1}{x}$f(x) = 1/x définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ℝ^(*) = ℝ \ {0}.
• Racine carrée : $f(x)=\sqrt{x}$f(x) = √(x) définie sur $[0;+\infty [$[0 ; +∞[.
• Quotient : $f(x)=\frac{1}{x-3}$f(x) = 1/(x - 3) définie sur $\mathbb{R}\setminus \{3\}$ℝ \ {3}.

Méthode

On cherche les valeurs interdites :

• Le dénominateur ne doit pas être nul.
• Sous une racine carrée, l'expression doit être $\ge 0$≥ 0.

Représentation graphique

Définition

La courbe représentative de $f$f est l'ensemble des points $(x;f(x))$(x ; f(x)), $x\in D$x ∈ D, dans un repère.

Lecture

• Image de $a$a : on monte verticalement depuis $a$a, jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
• Antécédent(s) de $b$b : on trace une horizontale à hauteur $b$b et on lit les abscisses des intersections avec la courbe.

Variations d'une fonction

Croissance

$f$f est croissante sur un intervalle $I$I si :

$$\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)$$∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

(Strictement croissante si $f(x_1)<f(x_2)$f(x₁) < f(x₂).)

Décroissance

$f$f est décroissante sur $I$I si :

$$\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2⟹f(x_1)\ge f(x_2)$$∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Tableau de variations

On résume les variations dans un tableau :

Les flèches indiquent les sens de variation.

Extremums

Maximum et minimum

• $f$f admet un maximum $M$M en $x_0$x₀ sur $I$I si $f(x_0)=M$f(x₀) = M et $f(x)\le M$f(x) ≤ M pour tout $x\in I$x ∈ I.
• Minimum : définition symétrique.

Local vs global

• Local : sur un petit intervalle autour de $x_0$x₀.
• Global : sur tout l'ensemble de définition.

Parité d'une fonction

Fonction paire

$f$f est paire si :

$$\forall x\in D,-x\in D\text{ et }f(-x)=f(x)$$∀ x ∈ D, -x ∈ D et f(-x) = f(x)

→ Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire

$f$f est impaire si :

$$\forall x\in D,-x\in D\text{ et }f(-x)=-f(x)$$∀ x ∈ D, -x ∈ D et f(-x) = -f(x)

→ Courbe symétrique par rapport à l'origine.

Exemples

• $f(x)=x^2$f(x) = x² est paire.
• $f(x)=x^3$f(x) = x³ est impaire.
• $f(x)=x^2+x$f(x) = x² + x n'est ni paire ni impaire.

Résolution graphique d'équations et inéquations

$f(x)=k$f(x) = k

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale $y=k$y = k.

$f(x)<k$f(x) < k

Les solutions sont les abscisses des $x$x pour lesquels la courbe est strictement en-dessous de $y=k$y = k.

Comparaison de fonctions

Pour comparer $f$f et $g$g sur un intervalle, on étudie le signe de $f-g$f - g :

• $f(x)>g(x)$f(x) > g(x) ssi $f(x)-g(x)>0$f(x) - g(x) > 0.

Graphiquement : la courbe de $f$f est au-dessus de celle de $g$g.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre image et antécédent.
• Oublier l'ensemble de définition (valeurs interdites).
• Mal lire la courbe : prends le temps de vérifier les axes.
• Confondre maximum et antécédent du maximum : le max est la valeur maximale ; le $x$x où il est atteint est l'antécédent.

FAQ — Fonctions : généralités en seconde

Comment savoir si une fonction est croissante ?

Sur un intervalle, la courbe monte de gauche à droite. Formellement : si $x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)$x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).

Une fonction peut-elle avoir plusieurs ensembles de définition ?

L'ensemble de définition est unique : c'est l'ensemble de tous les $x$x pour lesquels $f(x)$f(x) existe.

Quelle est la différence entre extremum local et global ?

Un local est le max (ou min) sur un petit intervalle ; un global est le max (ou min) sur tout l'ensemble de définition.

À quoi sert l'étude des variations ?

À comprendre le comportement d'une fonction, à optimiser (trouver max/min), à représenter la courbe.