Question transversaleMathsHGGSPCartes et projections

Peut-on dessiner une carte du monde qui respecte exactement la surface de chaque pays ?

Q: Vérifiez que 4πR² = 2πR × 2R.

$2π R×2R=4π R²$ : l'aire de la sphère égale l'aire latérale du cylindre circonscrit.

Q: Quelle part de l'hémisphère nord se trouve entre l'équateur et 30° ?

$sin30°=0,5$ : la moitié de l'hémisphère.

Q: Pourquoi les formes sont-elles écrasées près des pôles ?

Les distances nord-sud sont réduites d'un facteur $cosφ$ et les distances est-ouest agrandies de $1/cosφ$.

Archimède a montré que la zone de sphère comprise entre deux plans parallèles a la même aire que la bande du cylindre qui l'entoure : 2πR h, où h est la hauteur. En projetant chaque point horizontalement sur ce cylindre (y = R sin φ), on obtient une carte qui conserve exactement les aires. La calotte au-dessus de 60° occupe 13,4 % de l'hémisphère, soit 1 − sin 60°.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Après avoir vu à quel point la projection de Mercator déforme les surfaces, je me suis demandé s'il existait une carte juste pour les surfaces. En HGGSP, le professeur a mentionné la projection de Peters. En cherchant comment elle fonctionne, j'ai découvert qu'elle repose sur un théorème d'Archimède, vieux de 2 200 ans, sur la sphère et le cylindre.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le résultat d'Archimède sur les zones sphériques pour construire une projection équivalente et calculer des proportions de surface.

Mathématiques

Aire de la sphère, du cylindre (collège, seconde)
Fonction sinus, coordonnées sur une sphère (première, terminale)
Pour aller plus loin : calcul d'aires par intégration (terminale)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

S'informer : représentations et débats autour des cartes (première, thème 4)
Les rapports Nord-Sud et la puissance (première, thème 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une projection « équivalente » conserve les aires : deux pays de même surface y ont la même taille. Problématique : comment construire une telle carte, et quel prix faut-il payer ?
2. Mathématiques : le théorème d'Archimède
4,5 min
On entoure la sphère de rayon $R$ R d'un cylindre tangent le long de l'équateur, de même hauteur $2 R$ 2R. Archimède a démontré que l'aire de la sphère, $4 π R^{2}$ 4π R², égale l'aire latérale du cylindre, $2 π R \times 2 R$ 2π R×2R. Plus précisément, toute zone de sphère comprise entre deux plans horizontaux distants de $h$ h a pour aire $2 π R h$ 2π Rh, comme la bande de cylindre correspondante.
Projection de Lambert : on envoie le point de latitude $φ$ φ et de longitude $λ$ λ sur le cylindre, horizontalement, au point d'abscisse $R λ$ Rλ et d'ordonnée $y = R sin φ$ y=Rsinφ. D'après Archimède, les aires sont conservées.
Exemple : la calotte au-dessus de 60° N est comprise entre les hauteurs $R sin 60°$ Rsin60° et $R$ R : $h = R (1 - sin 60°) \approx 0, 134 R$ h=R(1-sin60°)≈0,134R. Son aire vaut $2 π R \times 0, 134 R$ 2π R×0,134R, soit $\frac{0 , 134}{1} \approx 13, 4 %$ 0,134/1≈13,4 % de l'hémisphère nord. Sur Mercator, cette zone paraît immense.
Prix à payer : les formes sont écrasées près des pôles (les distances nord-sud sont multipliées par $cos φ$ cosφ, les distances est-ouest par $\frac{1}{c o s φ}$ 1/cosφ). Aucune carte plane ne conserve à la fois les aires et les angles.
3. HGGSP : le débat Mercator-Peters
2,5 min
La projection de Gall-Peters, variante de celle de Lambert, a été popularisée dans les années 1970 comme une carte « juste » pour les pays du Sud, en réaction à la domination visuelle de l'hémisphère nord sur la carte de Mercator. Elle a été adoptée par certaines organisations de solidarité internationale.
Les géographes ont critiqué l'étirement des formes, et beaucoup préfèrent des projections de compromis (Robinson, Winkel-Tripel), qui déforment un peu tout sans rien déformer beaucoup. Ce débat montre que le choix d'une carte relève aussi de valeurs et de représentations politiques.
4. Conclusion
1,5 min
Une carte qui conserve exactement les surfaces existe : en projetant sur le cylindre avec $y = R sin φ$ y=Rsinφ, le théorème d'Archimède garantit l'égalité des aires. Mais elle déforme les formes, car aucune carte ne conserve tout. J'ouvre sur la projection de Robinson, compromis utilisé dans de nombreux atlas.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

zone de hauteur h : A = 2 π R h 4 π R^{2} = 2 π R \times 2 R zone de hauteur h: mathcal A=2π Rh 4π R²=2π R\times2R y = R sin φ au-dessus de 60° : h = R (1 - sin 60°) \approx 0, 134 R \Rightarrow 13, 4 % de l’h \overset{e}{ˊ} misph \overset{e}{ˋ} re y=Rsinφ au-dessus de 60°: h=R(1-sin60°)\approx0,134R\Rightarrow13,4 % de l'hémisphère

Conclusion : la réponse à la question

Le théorème d'Archimède sur la sphère et le cylindre fonde une carte qui respecte les surfaces. Il montre aussi qu'il faut choisir ce que l'on conserve : surfaces ou formes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que 4πR² = 2πR × 2R.

$2 π R \times 2 R = 4 π R^{2}$ 2π R×2R=4π R² : l'aire de la sphère égale l'aire latérale du cylindre circonscrit.

Quelle part de l'hémisphère nord se trouve entre l'équateur et 30° ?

$sin 30° = 0, 5$ sin30°=0,5 : la moitié de l'hémisphère.

Pourquoi les formes sont-elles écrasées près des pôles ?

Les distances nord-sud sont réduites d'un facteur $cos φ$ cosφ et les distances est-ouest agrandies de $\frac{1}{c o s φ}$ 1/cosφ.

Peut-on conserver à la fois les aires et les angles ?

Non : une sphère ne peut pas être aplatie sans déformation (Gauss l'a démontré).

Qu'est-ce qu'une projection de compromis ?

Une projection qui ne conserve exactement ni les aires ni les angles, mais limite toutes les déformations.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une projection équivalente est parfaite.
Confondre projection équivalente (aires) et conforme (angles).
Oublier que la hauteur de la zone se mesure le long de l'axe.

Revoir les notions

Autres questions : cartes et projections

Toutes les questions maths-hggsp →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-anglais →