Question transversaleMathsHGGSPFaire la guerre, faire la paix

Si le risque d'une guerre nucléaire accidentelle est faible chaque année, l'est-il encore sur un siècle ?

Q: Justifiez (1 − p)ⁿ ≈ e⁽−np).

$nln(1-p)≈-np$ quand $p$ est petit.

Si la probabilité d'un échange nucléaire accidentel était de 1 % par an, indépendamment, la probabilité qu'il ne se produise jamais en 80 ans serait 0,99⁸⁰ ≈ 0,45 : le risque cumulé dépasserait 55 %. Même à 0,5 % par an, il atteindrait 33 %. Un petit risque répété devient considérable : c'est l'argument des partisans du désarmement.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, j'ai découvert plusieurs « quasi-accidents » de la guerre froide, comme en 1983, quand un officier soviétique, Stanislav Petrov, a refusé de croire à une fausse alerte d'attaque américaine. Je me suis demandé quel était le risque cumulé de vivre avec des armes nucléaires pendant des décennies. Un calcul de probabilité avec des puissances montre qu'un risque annuel faible devient grand à l'échelle d'une vie.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une probabilité cumulée par l'événement contraire et des puissances, et l'approcher par l'exponentielle pour raisonner sur le long terme.

Mathématiques

Événement contraire, épreuves indépendantes (première)
Suites géométriques, puissances d'un nombre proche de 1 (première)
Approximation (1 − p)ⁿ ≈ e^(−np) (terminale)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Faire la guerre, faire la paix : la dissuasion et ses risques (terminale, thème 2)
Histoire et mémoires : la guerre froide (terminale, thème 3)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Depuis 1945, aucune arme nucléaire n'a été utilisée en guerre, mais plusieurs fausses alertes ont failli déclencher une riposte. Problématique : si le risque annuel d'un accident est faible, que devient-il sur plusieurs décennies ?
2. Mathématiques : un risque qui se cumule
4 min
On suppose une probabilité $p$ p d'échange nucléaire accidentel chaque année, les années étant indépendantes. La probabilité qu'aucun accident ne se produise en $n$ n années est $(1 - p)^{n}$ (1-p)ⁿ. Le risque cumulé est $1 - (1 - p)^{n}$ 1-(1-p)ⁿ.
Pour $p = 1 %$ p=1 % et $n = 80$ n=80 (une vie humaine) : $0, 9 9^{80} \approx 0, 45$ 0,99⁸⁰≈0,45, soit un risque cumulé d'environ 55 %. Pour $p = 0, 5 %$ p=0,5 % : $1 - 0, 99 5^{80} \approx 33 %$ 1-0,995⁸⁰≈33 %. Sur 30 ans avec $p = 1 %$ p=1 % : environ 26 %.
Approximation : $(1 - p)^{n} = e^{n l n (1 - p)} \approx e^{- n p}$ (1-p)ⁿ=e^(nln(1-p))≈ e^(-np) pour $p$ p petit. Avec $n p = 0, 8$ np=0,8 : $e^{- 0, 8} \approx 0, 45$ e^(-0,8)≈0,45. Le risque cumulé dépend surtout du produit $n p$ np. Diviser $p$ p par 10 (meilleurs contrôles, moins d'ogives en alerte) réduit le risque cumulé sur 80 ans à environ $1 - e^{- 0, 08} \approx 7, 7 %$ 1-e^(-0,08)≈7,7 %.
Le chiffre de 1 % par an n'est pas connu : c'est une hypothèse de travail. Le calcul montre seulement qu'un risque annuel, même faible, n'est pas négligeable sur le long terme.
3. HGGSP : quasi-accidents et désarmement
3 min
En 1962, pendant la crise de Cuba, un sous-marin soviétique a failli lancer une torpille nucléaire ; en 1983, Stanislav Petrov a jugé, à raison, qu'une alerte satellite était une erreur. Ces épisodes montrent que la dissuasion comporte un risque d'accident, d'erreur technique ou humaine.
Les mesures de confiance (téléphone rouge, notifications de tirs d'essai), la réduction des arsenaux et la baisse du niveau d'alerte visent à réduire $p$ p. Le calcul du risque cumulé est l'un des arguments des partisans du désarmement, comme le traité sur l'interdiction des armes nucléaires entré en vigueur en 2021, auquel les puissances nucléaires n'ont pas adhéré.
4. Conclusion
1,5 min
Un risque annuel de 1 % devient un risque de 55 % en 80 ans : $1 - (1 - p)^{n} \approx 1 - e^{- n p}$ 1-(1-p)ⁿ≈1-e^(-np) croît avec la durée. Les quasi-accidents de la guerre froide rappellent que la dissuasion n'élimine pas le risque. J'ouvre sur les mesures de confiance qui cherchent à réduire la probabilité annuelle d'erreur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (au moins un accident en n ans) = 1 - (1 - p)^{n} \approx 1 - e^{- n p} P( au moins un accident en n ans )=1-(1-p)ⁿ\approx1-e^(-np) p = 1 %, n = 80 : 1 - 0, 9 9^{80} \approx 55 % p = 0, 5 % : \approx 33 % p = 0, 1 % : \approx 7, 7 % p=1 %, n=80: 1-0,99⁸⁰\approx55 % p=0,5 %: \approx33 % p=0,1 %: \approx7,7 %

Conclusion : la réponse à la question

Le risque cumulé d'un événement rare croît avec la durée d'exposition. Le calcul par l'événement contraire montre pourquoi réduire, même un peu, la probabilité annuelle d'accident compte énormément sur un siècle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi passer par l'événement contraire ?

« Au moins un accident » est le contraire de « aucun accident », dont la probabilité est un simple produit.

Justifiez (1 − p)ⁿ ≈ e^(−np).

$n ln (1 - p) \approx - n p$ nln(1-p)≈-np quand $p$ p est petit.

Qui était Stanislav Petrov ?

Un officier soviétique qui, en 1983, a jugé fausse une alerte d'attaque américaine et évité une riposte.

L'hypothèse d'indépendance est-elle réaliste ?

Non tout à fait : le risque varie avec les tensions internationales, plus fort en période de crise.

Qu'est-ce que le traité sur l'interdiction des armes nucléaires ?

Un traité de l'ONU entré en vigueur en 2021, qui interdit ces armes, mais que les puissances nucléaires n'ont pas signé.

Les pièges qui coûtent des points

Multiplier p par n sans tenir compte de l'événement contraire (on obtiendrait 80 %).
Présenter l'hypothèse de 1 % par an comme un fait établi.
Oublier que le risque varie selon les périodes.

Revoir les notions

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