Comment a-t-on mesuré la France et défini le mètre avant les satellites ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la Révolution française et la volonté d'unifier les mesures. J'ai découvert que le mètre avait été défini à partir d'une mesure de la Terre, réalisée par deux savants pendant six ans, en pleine Révolution. Je me suis demandé comment on pouvait mesurer des centaines de kilomètres sans les parcourir avec une règle, et la réponse est la trigonométrie.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre un triangle à partir d'un côté et de deux angles par la loi des sinus, et comprendre la propagation d'un réseau de triangles.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Mesurer directement une distance de plusieurs kilomètres est long et imprécis. Les géomètres du XVIIIᵉ siècle mesuraient avec soin une seule base, puis des angles entre des points visibles (clochers, sommets). Problématique : comment en déduire toutes les distances ?

2. 2. Mathématiques : la loi des sinus

   4 min

   Dans un triangle ABC, la hauteur issue de C vaut $h=AC\sin A=BC\sin B$h=ACsin A=BCsin B. En procédant de même avec les autres hauteurs, on obtient la loi des sinus : $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$BC/(sin A)=AC/(sin B)=AB/(sin C).

   Exemple : base $AB=10$AB=10 km, angles mesurés $A=60°$A=60° et $B=70°$B=70°. Le troisième angle vaut $C=180-60-70=50°$C=180-60-70=50°. Alors $AC=AB\frac{\sin B}{\sin C}=10\times \frac{\sin 70°}{\sin 50°}\approx 12,27$AC=AB(sin B)/(sin C)=10×sin70°/sin50°≈12,27 km et $BC=10\times \frac{\sin 60°}{\sin 50°}\approx 11,31$BC=10×sin60°/sin50°≈11,31 km.

   On enchaîne ensuite les triangles : le côté AC sert de base au triangle suivant, et ainsi de suite. Une seule mesure de longueur permet de couvrir tout un pays avec des angles. Pour vérifier, on mesure une seconde base à l'autre bout de la chaîne et l'on compare.

   Erreurs : une erreur relative sur la base se propage proportionnellement à toutes les distances ; une petite erreur d'angle a un effet d'autant plus grand que les triangles sont aplatis, d'où le choix de triangles proches de l'équilatéral.

3. 3. HGGSP : la mesure du monde, enjeu de savoir et de pouvoir

   3 min

   En 1791, l'Assemblée décide de définir le mètre comme la dix-millionième partie du quart de méridien terrestre, une mesure « pour tous les temps, pour tous les peuples ». Delambre et Méchain triangulent de Dunkerque à Barcelone de 1792 à 1798, au milieu des guerres et des troubles. Le mètre étalon est déposé en 1799.

   Auparavant, les Cassini avaient déjà triangulé la France pour en dresser la carte, outil de l'administration royale. La cartographie et la mesure ont toujours été liées au pouvoir de l'État sur son territoire, et le système métrique est devenu un patrimoine scientifique partagé mondialement.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La triangulation transforme une seule longueur mesurée en un réseau de distances, grâce à la loi des sinus : avec une base de 10 km et deux angles, on calcule tous les côtés. C'est ainsi qu'a été défini le mètre à la fin du XVIIIᵉ siècle. J'ouvre sur le GPS, qui mesure aujourd'hui des distances aux satellites au lieu d'angles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de calculer le troisième angle.
• Utiliser la loi des cosinus alors qu'on connaît deux angles.
• Croire que les savants ont mesuré toute la distance à la règle.

Revoir les notions

• Trigonométrie (Première spé maths) →
• Trigonométrie (triangle rectangle) (Seconde) →

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