Si chaque habitant dépendait de la ville la plus proche, comment se dessineraient les territoires ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié comment l'État organise son territoire : préfectures, hôpitaux, centres de secours. Je me suis demandé comment on peut découper un territoire pour que chaque habitant dépende de la ville la plus proche. J'ai découvert les diagrammes de Voronoï, construits avec les médiatrices, utilisés aussi bien en géographie qu'en épidémiologie.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un partage du plan par la distance la plus courte, à l'aide des médiatrices et du centre du cercle circonscrit.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Plusieurs villes offrent un même service (hôpital, centre de secours). On veut rattacher chaque habitant à la ville la plus proche. Problématique : quelle forme prennent alors les zones d'influence, et comment les construire ?

2. 2. Mathématiques : médiatrices et cellules

   4 min

   Pour deux villes A et B, les points plus proches de A que de B forment un demi-plan limité par la médiatrice de [AB]. Pour plusieurs villes, la zone d'influence de A est l'intersection des demi-plans « plus proche de A que de chaque autre ville » : c'est un polygone convexe, la cellule de Voronoï de A.

   Trois villes A(0 ; 0), B(60 ; 0), C(20 ; 40), en km. Médiatrice de [AB] : $x=30$x=30. Médiatrice de [AC] : $x^2+y^2=(x-20{)}^2+(y-40{)}^2$x²+y²=(x-20)²+(y-40)², soit $x+2y=50$x+2y=50. Leur intersection : $x=30$x=30, $y=10$y=10. Ce point O(30 ; 10) est à égale distance des trois villes : $OA=\sqrt{900+100}\approx 31,6$OA=√(900+100)≈31,6 km, et de même pour B et C. C'est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, où se rejoignent les trois frontières.

   Avec $n$n villes, le diagramme de Voronoï découpe le plan en $n$n cellules ; on le calcule par des algorithmes efficaces. Le modèle suppose des distances à vol d'oiseau et des villes équivalentes ; on l'affine en pondérant par la taille des villes ou en utilisant les temps de trajet réels.

3. 3. HGGSP : maillages et territoires

   3 min

   Les géographes comparent les découpages administratifs aux zones de Voronoï : la création des départements en 1790 visait à ce que chaque habitant puisse rejoindre le chef-lieu en une journée de cheval, une idée proche de ce modèle. Les zones de chalandise des commerces, les secteurs des pompiers ou des écoles s'en inspirent.

   En 1854, le médecin John Snow a montré qu'à Londres les morts du choléra se concentraient dans la zone la plus proche d'une pompe contaminée : une zone de Voronoï avant l'heure. Le modèle montre aussi les inégalités territoriales : les habitants situés près des bords d'une cellule sont les plus éloignés du service.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Rattacher chaque habitant à la ville la plus proche dessine des cellules de Voronoï, limitées par des médiatrices qui se rejoignent au centre du cercle circonscrit : pour les trois villes de l'exemple, au point (30 ; 10). Ce modèle géométrique éclaire les maillages territoriaux. J'ouvre sur la carte de John Snow, première analyse de ce type.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre médiatrice et médiane.
• Oublier que le modèle utilise la distance à vol d'oiseau.
• Croire que les découpages administratifs sont exactement des cellules de Voronoï.

Revoir les notions

• Géométrie repérée (Seconde) →
• Droites du plan (Seconde) →

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