Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Comment a-t-on pu mesurer l'âge de la Terre ?

Q: Justifiez ln(1 + x) ≈ x pour x petit.

C'est l'approximation affine en 0 : $ln'(1)=1$.

Q: Quel rapport D/P pour un âge de deux demi-vies ?

$e^(λ t)=4$, donc $D/P=3$.

L'uranium 238 (demi-vie 4,47 milliards d'années) se transforme en plomb 206 ; si D noyaux fils accompagnent P noyaux pères, t = (t½/ln 2) ln(1 + D/P) : autant de plomb que d'uranium signifie un âge égal à la demi-vie.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que la Terre a 4,5 milliards d'années, et je me suis demandé comment on pouvait le savoir. Personne n'était là pour compter. La réponse vient de minéraux qui renferment de l'uranium et du plomb : le rapport des deux est une horloge. J'ai voulu comprendre la formule et ce qui la rend fiable.

L'enjeu et les notions du programme

Établir et utiliser une relation logarithmique entre l'âge et le rapport fils/père, en s'appuyant sur la conservation du nombre de noyaux.

Mathématiques

Fonction exponentielle, logarithme népérien (terminale)
$ln (1 + x)$ ln(1+x), propriétés algébriques (terminale)
Résolution d'équations (seconde, terminale)

Physique-chimie

Décroissance radioactive, demi-vie, filiation (terminale)
Datation radioactive de roches (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'uranium 238 se désintègre, par une chaîne de transformations rapides, en plomb 206 stable. Sa demi-vie est de 4,47 milliards d'années. Problématique : comment le rapport plomb/uranium d'un minéral donne-t-il son âge ?
2. Physique : chaque père devient un fils
3 min
À la cristallisation d'un zircon, l'uranium est piégé mais pas le plomb : au départ, $D_{0} = 0$ D₀=0. Chaque uranium qui se désintègre devient un plomb, qui reste piégé. Si $P (t)$ P(t) est le nombre d'uraniums et $D (t)$ D(t) celui de plombs : $P (t) + D (t) = P_{0}$ P(t)+D(t)=P₀ (conservation).
On ne connaît pas $P_{0}$ P₀, mais on mesure aujourd'hui $P$ P et $D$ D : $P_{0} = P + D$ P₀=P+D. C'est l'astuce qui rend la méthode possible.
3. Mathématiques : la formule de l'âge
4 min
$P = P_{0} e^{- λ t} = (P + D) e^{- λ t}$ P=P₀e^(-λ t)=(P+D)e^(-λ t), donc $e^{λ t} = \frac{P + D}{P} = 1 + \frac{D}{P}$ e^(λ t)=(P+D)/P=1+D/P et $t = \frac{1}{λ} ln (1 + \frac{D}{P}) = \frac{t _{1/2}}{l n 2} ln (1 + \frac{D}{P})$ t=frac1λln(1+D/P)=(t_1/2)/ln2ln(1+D/P).
Si $\frac{D}{P} = 1$ D/P=1 (autant de plomb que d'uranium) : $t = t_{1/2} = 4, 47$ t=t_1/2=4,47 milliards d'années. Si $\frac{D}{P} = \frac{1}{2}$ D/P=1/2 : $t = 4, 47 \times \frac{l n 1 , 5}{l n 2} \approx 2, 6$ t=4,47×ln1,5/ln2≈2,6 milliards d'années. Pour $\frac{D}{P}$ D/P petit, $ln (1 + x) \approx x$ ln(1+x)≈ x : l'âge est presque proportionnel au rapport.
Les plus vieux zircons terrestres ont environ 4,4 milliards d'années ; les météorites, formées en même temps que le système solaire, donnent 4,57 milliards d'années, ce qui fixe l'âge de la Terre à environ 4,54 milliards d'années (Patterson, 1956). On recoupe avec un deuxième couple, uranium 235 et plomb 207 : deux horloges indépendantes qui doivent donner le même âge.
4. Conclusion
2 min
On a mesuré l'âge de la Terre grâce à l'uranium : dans un minéral fermé, chaque uranium disparu est devenu un plomb, et le rapport $\frac{D}{P}$ D/P donne l'âge par $t = \frac{t _{1/2}}{l n 2} ln (1 + \frac{D}{P})$ t=(t_1/2)/ln2ln(1+D/P). J'ouvre sur l'importance d'une demi-vie adaptée : le carbone 14 date les derniers millénaires, l'uranium les milliards d'années.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P + D = P_{0}, P = P_{0} e^{- λ t} \Rightarrow e^{λ t} = 1 + \frac{D}{P} P+D=P₀, P=P₀ e^(-λ t) \Rightarrow e^(λ t)=1+D/P t = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln (1 + \frac{D}{P}) t=(t_1/2)/ln2 ln (1+D/P) \frac{D}{P} = 1 \Rightarrow t = 4, 47 Ga \frac{D}{P} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 4, 47 \times \frac{ln 1 , 5}{ln 2} \approx 2, 6 Ga D/P=1\Rightarrow t=4,47 Ga D/P=1/2\Rightarrow t=4,47\timesln1,5/ln2\approx2,6 Ga

Conclusion : la réponse à la question

L'âge d'un minéral se lit dans son rapport plomb/uranium : $t = \frac{t _{1/2}}{l n 2} ln (1 + \frac{D}{P})$ t=(t_1/2)/ln2ln(1+D/P). Appliquée aux météorites et recoupée par deux désintégrations indépendantes, la méthode donne à la Terre environ 4,54 milliards d'années.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi utiliser le zircon ?

En cristallisant, il incorpore de l'uranium mais rejette le plomb : on sait que D₀ = 0. Il est aussi très résistant.

Que se passe-t-il si le minéral a perdu du plomb ?

L'âge calculé est trop jeune. La comparaison des deux horloges (238/206 et 235/207) détecte ces pertes.

Justifiez ln(1 + x) ≈ x pour x petit.

C'est l'approximation affine en 0 : $ln^{'} (1) = 1$ ln'(1)=1.

Pourquoi ne pas utiliser le carbone 14 ?

Sa demi-vie (5 730 ans) est bien trop courte : il ne resterait rien après quelques dizaines de milliers d'années.

Quel rapport D/P pour un âge de deux demi-vies ?

$e^{λ t} = 4$ e^(λ t)=4, donc $\frac{D}{P} = 3$ D/P=3.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser $\frac{D}{P}$ D/P au lieu de $1 + \frac{D}{P}$ 1+D/P dans le logarithme.
Oublier l'hypothèse D₀ = 0 et le système fermé.
Croire que l'on a daté la Terre avec des roches terrestres seulement.

Revoir les notions

Autres questions : radioactivité et datation

Toutes les questions maths-physique-chimie →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →