Calculez $8^(2/3)$ et $64^(2/3)$.

$8^(1/3)=2$ donc $8^(2/3)=4$ ; $64^(1/3)=4$ donc $64^(2/3)=16$.

Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Pourquoi tous les satellites géostationnaires sont-ils à la même altitude ?

Q: Plus un satellite est haut, plus il va vite ?

Non : $v=√(GM/r)$ diminue quand $r$ augmente, et sa période augmente.

Q: Avec quelle période tournerait un satellite à 4 fois le rayon géostationnaire ?

$T$ est proportionnel à $r^(3/2)$ : $4^(3/2)=8$, soit 8 jours environ.

Pour une orbite circulaire, Newton donne T²/r³ = 4π²/(GM) : imposer la période d'un jour impose le rayon, environ 42 000 km, qu'on retrouve sans calculatrice à partir de l'orbite de la Lune.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En installant une parabole pour la télévision, mon père l'a orientée une fois pour toutes vers un point du ciel : le satellite ne bouge pas par rapport à nous. J'ai appris que tous ces satellites sont sur une même orbite, à environ 36 000 km d'altitude. J'ai voulu comprendre pourquoi cette altitude est imposée, et la retrouver par le calcul.

L'enjeu et les notions du programme

Établir la troisième loi de Kepler à partir de la deuxième loi de Newton, puis la manipuler avec les puissances et les racines.

Mathématiques

Puissances, racines carrée et cubique (seconde, première)
Fonctions de référence et monotonie : une période correspond à un seul rayon (première)

Physique-chimie

Mouvement circulaire uniforme, accélération v²/r (terminale)
Loi de la gravitation, deuxième loi de Newton (terminale)
Troisième loi de Kepler, satellites géostationnaires (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un satellite géostationnaire tourne en une journée sidérale ( $23$ 23 h $56$ 56 min) dans le plan de l'équateur, dans le sens de la Terre : il semble immobile. Problématique : pourquoi cette condition fixe-t-elle l'altitude ?
2. Physique : de Newton à Kepler
3,5 min
Le satellite (masse $m$ m) décrit un cercle de rayon $r$ r à vitesse constante $v$ v. Son accélération est centripète, de norme $\frac{v ^{2}}{r}$ v²/r. La seule force est l'attraction de la Terre (masse $M$ M) : $\frac{GM m}{r ^{2}}$ GMm/r². La deuxième loi de Newton donne $\frac{v ^{2}}{r} = \frac{GM}{r ^{2}}$ v²/r=GM/r², soit $v = \frac{GM}{r}$ v=√(GM/r).
La période est $T = \frac{2 π r}{v}$ T=(2π r)/v, donc $T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{v ^{2}} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{GM}$ T²=4π²r²/v²=4π²r³/GM : $\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}$ T²/r³=4π²/GM, la même constante pour tous les satellites de la Terre (troisième loi de Kepler). La masse du satellite a disparu.
3. Mathématiques : le rayon sans calculatrice
4 min
La fonction $r \mapsto r^{3}$ r↦ r³ est strictement croissante : une période donne un seul rayon, $r = (\frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ r=(GMT²/4π²)^(1/3). Toute la question se ramène à ce résultat.
Sans calculatrice, je compare à la Lune : $T_{L} \approx 27, 3$ T_L≈27,3 jours et $r_{L} \approx 384000$ r_L≈384 000 km. Kepler donne $\frac{r ^{3}}{r _{L}^{3}} = \frac{T ^{2}}{T _{L}^{2}}$ r³/r_L³=T²/T_L², donc $r = r_{L} (\frac{T}{T _{L}})^{2/3}$ r=r_L(T/T_L)^(2/3). Or $2 7^{2/3} = (2 7^{1/3})^{2} = 3^{2} = 9$ 27^(2/3)=(27^(1/3))²=3²=9 : $r \approx \frac{384 000}{9} \approx 42700$ r≈(384 000)/9≈42 700 km. Le calcul précis donne $42164$ 42 164 km, soit une altitude d'environ $42164 - 6378 \approx 35800$ 42 164-6 378≈35 800 km.
La vitesse vaut alors $\frac{2 π r}{T} \approx 3, 1$ (2π r)/T≈3,1 km/s, bien moins que les $7, 7$ 7,7 km/s de la Station spatiale, qui est plus basse.
4. Conclusion
1,5 min
Les satellites géostationnaires sont à la même altitude parce que la troisième loi de Kepler associe à chaque période un unique rayon : une journée correspond à environ 42 000 km du centre de la Terre. J'ouvre sur l'encombrement de cette orbite, que les agences spatiales attribuent comme une ressource rare.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{v ^{2}}{r} = \frac{GM}{r ^{2}} \Rightarrow \frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM} v²/r=GM/r² \Rightarrow T²/r³=4π²/GM r = r_{L} (\frac{T}{T _{L}})^{2/3} \approx \frac{384 000}{2 7 ^{2/3}} = \frac{384 000}{9} \approx 42700 km r=r_L(T/T_L)^(2/3)\approx(384 000)/(27^(2/3))=(384 000)/9\approx42 700 km altitude \approx 42164 - 6378 \approx 35800 km altitude \approx42 164-6 378\approx35 800 km

Conclusion : la réponse à la question

Tous les satellites géostationnaires sont à environ 35 800 km d'altitude, parce que la période d'une orbite circulaire détermine son rayon : $T^{2}$ T² est proportionnel à $r^{3}$ r³. La comparaison avec la Lune permet de retrouver cet ordre de grandeur de tête.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le mouvement circulaire uniforme est-il accéléré ?

Le vecteur vitesse change de direction en permanence ; l'accélération est dirigée vers le centre, de norme v²/r.

Un satellite géostationnaire peut-il être au-dessus de Paris ?

Non : la force est dirigée vers le centre de la Terre, donc l'orbite est centrée sur ce centre ; pour suivre la rotation de la Terre, elle doit être dans le plan de l'équateur.

Pourquoi une journée sidérale et non 24 h ?

La Terre fait un tour sur elle-même par rapport aux étoiles en 23 h 56 min ; les 24 h incluent le petit supplément dû à sa rotation autour du Soleil.

Calculez

8^{2/3}

8^(2/3) et

6 4^{2/3}

64^(2/3).

$8^{1/3} = 2$ 8^(1/3)=2 donc $8^{2/3} = 4$ 8^(2/3)=4 ; $6 4^{1/3} = 4$ 64^(1/3)=4 donc $6 4^{2/3} = 16$ 64^(2/3)=16.

Plus un satellite est haut, plus il va vite ?

Non : $v = \frac{GM}{r}$ v=√(GM/r) diminue quand $r$ r augmente, et sa période augmente.

Avec quelle période tournerait un satellite à 4 fois le rayon géostationnaire ?

$T$ T est proportionnel à $r^{3/2}$ r^(3/2) : $4^{3/2} = 8$ 4^(3/2)=8, soit 8 jours environ.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre altitude et rayon de l'orbite (oublier le rayon terrestre).
Croire que la masse du satellite intervient.
Prendre la Lune à 27,3 jours mais la période du satellite en heures sans convertir.

Revoir les notions

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