Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Pourquoi un parachutiste n'accélère-t-il pas indéfiniment ?

Q: Vérifiez que la solution trouvée convient.

$v'(t)=mg/ktimesk/m e^(-kt/m)=ge^(-kt/m)$ et $g-k/mv=g-g(1-e^(-kt/m))=ge^(-kt/m)$.

Q: Que représente graphiquement τ ?

La tangente à l'origine (pente $g$) coupe l'asymptote $v=v_ lim $ en $t=τ$. À cet instant, $v≈63$ % de $v_ lim $.

Q: Un parachutiste plus lourd tombe-t-il plus vite ?

Oui, à forme égale : $v_ lim =mg/k$ est proportionnelle à $m$. Ce n'est plus la chute libre de Galilée.

Q: Que se passe-t-il si le parachutiste part avec une vitesse supérieure à la vitesse limite ?

$C>0$ : la vitesse décroît vers $v_ lim $. C'est ce qui se passe à l'ouverture du parachute.

Q: Pourquoi l'accélération initiale vaut-elle g ?

À $t=0$, $v=0$ donc le frottement est nul : $v'(0)=g$.

Avec un frottement proportionnel à la vitesse, la deuxième loi de Newton donne v' = g − (k/m)v, dont la solution v(t) = v_lim(1 − e^(−t/τ)) tend vers mg/k : 50 m/s atteints à 95 % en trois fois τ = 5 s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant une vidéo de saut en parachute, j'ai été surpris d'apprendre qu'avant d'ouvrir sa voile, le parachutiste ne dépasse pas environ 200 km/h, quelle que soit la hauteur du saut. Pourtant, la pesanteur continue de l'attirer. J'ai voulu comprendre comment l'air impose une vitesse maximale et retrouver ce résultat avec une équation différentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un mouvement avec frottements par une équation différentielle y' = ay + b, la résoudre et interpréter sa limite.

Mathématiques

Équations différentielles y' = ay + b (terminale)
Fonction exponentielle, limite en +∞ (terminale)

Physique-chimie

Deuxième loi de Newton, bilan des forces (terminale)
Modélisation d'une force de frottement fluide (terminale)
Temps caractéristique d'une évolution (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
En chute libre sans air, la vitesse augmenterait de $10$ 10 m/s chaque seconde. Problématique : pourquoi un parachutiste atteint-il une vitesse maximale, et comment la calculer ?
2. Physique : mise en équation
3 min
On oriente l'axe vers le bas. Le parachutiste (masse $m$ m) subit son poids $m g$ mg et une force de frottement opposée à la vitesse, modélisée par $- k v$ -kv aux vitesses modérées. La deuxième loi de Newton donne $m v^{'} = m g - k v$ m v'=mg-kv, soit $v^{'} = - \frac{k}{m} v + g$ v'=-k/mv+g.
Analyse qualitative : au début $v = 0$ v=0, l'accélération vaut $g$ g ; plus $v$ v augmente, plus le frottement compense le poids ; il y a équilibre quand $k v = m g$ kv=mg, c'est-à-dire $v = \frac{m g}{k}$ v=mg/k.
3. Mathématiques : résolution
4 min
L'équation est de la forme $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b avec $a = - \frac{k}{m}$ a=-k/m et $b = g$ b=g. Ses solutions sont $v (t) = C e^{- \frac{k}{m} t} + \frac{m g}{k}$ v(t)=Ce^(-k/mt)+mg/k. Avec $v (0) = 0$ v(0)=0 : $C = - \frac{m g}{k}$ C=-mg/k. On pose $v_{lim} = \frac{m g}{k}$ v_ lim =mg/k et $τ = \frac{m}{k}$ τ=m/k :
$v (t) = v_{lim} (1 - e^{- t / τ})$ v(t)=v_ lim (1-e^(-t/τ)).
Comme $e^{- t / τ} \to 0$ e^(-t/τ)→0, $v (t) \to v_{lim}$ v(t)→ v_ lim sans jamais la dépasser. Avec $m = 80$ m=80 kg, $k = 16$ k=16 kg/s et $g = 10$ g=10 m/s² : $v_{lim} = 50$ v_ lim =50 m/s, soit 180 km/h, et $τ = 5$ τ=5 s. À $t = 3 τ = 15$ t=3τ=15 s, $v = 50 (1 - e^{- 3}) \approx 47, 5$ v=50(1-e⁻³)≈47,5 m/s, soit 95 % de la vitesse limite.
En ouvrant le parachute, $k$ k est multiplié par environ dix : la vitesse limite tombe à quelques mètres par seconde.
4. Conclusion
2 min
Le parachutiste n'accélère pas indéfiniment parce que le frottement de l'air croît avec la vitesse jusqu'à compenser le poids. L'équation $v^{'} = g - \frac{k}{m} v$ v'=g-k/mv donne une approche exponentielle de la vitesse limite $\frac{m g}{k}$ mg/k. J'ouvre sur le modèle en $k v^{2}$ kv², plus réaliste aux grandes vitesses, qui donne $v_{lim} = \frac{m g}{k}$ v_ lim =√(mg/k).

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

m v^{'} = m g - k v ⟺ v^{'} = - \frac{k}{m} v + g m v'=mg-kv\Leftrightarrow v'=-k/m v+g v (t) = \frac{m g}{k} (1 - e^{- \frac{k}{m} t}) t \to + \infty v_{lim} = \frac{m g}{k} v(t)=mg/k(1-e^(-k/mt)) \to v_ lim =mg/k m = 80, k = 16 : v_{lim} = 50 m/s, τ = 5 s, v (15) \approx 0, 95 v_{lim} m=80, k=16: v_ lim =50 m/s , τ=5 s , v(15)\approx0,95 v_ lim

Conclusion : la réponse à la question

La vitesse d'un parachutiste tend vers une limite $\frac{m g}{k}$ mg/k parce que l'équation de son mouvement est une équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b avec $a < 0$ a<0 : la solution s'approche exponentiellement de son état d'équilibre. Physique et mathématiques racontent la même histoire : un équilibre stable.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que la solution trouvée convient.

$v^{'} (t) = \frac{m g}{k} \times \frac{k}{m} e^{- k t / m} = g e^{- k t / m}$ v'(t)=mg/ktimesk/m e^(-kt/m)=ge^(-kt/m) et $g - \frac{k}{m} v = g - g (1 - e^{- k t / m}) = g e^{- k t / m}$ g-k/mv=g-g(1-e^(-kt/m))=ge^(-kt/m).

Que représente graphiquement τ ?

La tangente à l'origine (pente $g$ g) coupe l'asymptote $v = v_{lim}$ v=v_ lim en $t = τ$ t=τ. À cet instant, $v \approx 63$ v≈63 % de $v_{lim}$ v_ lim.

Un parachutiste plus lourd tombe-t-il plus vite ?

Oui, à forme égale : $v_{lim} = \frac{m g}{k}$ v_ lim =mg/k est proportionnelle à $m$ m. Ce n'est plus la chute libre de Galilée.

Que se passe-t-il si le parachutiste part avec une vitesse supérieure à la vitesse limite ?

$C > 0$ C>0 : la vitesse décroît vers $v_{lim}$ v_ lim. C'est ce qui se passe à l'ouverture du parachute.

Quelle unité pour k ?

kv est une force en newtons, donc k s'exprime en N·s/m, soit kg/s ; τ = m/k est bien en secondes.

Pourquoi l'accélération initiale vaut-elle g ?

À $t = 0$ t=0, $v = 0$ v=0 donc le frottement est nul : $v^{'} (0) = g$ v'(0)=g.

Les pièges qui coûtent des points

Orienter l'axe vers le haut et garder +g dans l'équation.
Dire que la vitesse limite est atteinte au bout d'un temps fini.
Oublier la solution particulière constante mg/k.

Revoir les notions

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